Enunciado

Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.

(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a transformada de Laplace.

' ( t ) - 1 2 ∫ 0 t t - ξ 2 ξ d ξ = - t ;

0 = 1

(b) Diferenciando a equação integrodiferencial um número suficiente de vezes, converta-a em um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se L f ( t ) = F ( s ) e L g ( t ) = G ( s ) existem e

L h ( t ) = H s = L f ( t ) L g ( t ) = F s G s ,

a função h ( t ) é dada por:

h t = ∫ 0 t f ( t - ξ ) g ξ d ξ

Para o nosso exercício:

f t = - 1 2 t 2

g t = t

Então

h t = ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ

E ficamos com:

' ( t ) + h t = - t

Aplicando a transformada de Laplace:

L ' t + L h t = - L t

s L t - 0 + H s = - 1 s 2

s L t - 1 + L - 1 2 t 2 L t = - 1 s 2

s L t - 1 - 1 s 3 L t = - 1 s 2

s - 1 s 3 L t = 1 - 1 s 2

s 4 - 1 s 3 L t = s 2 - 1 s 2

L t = s ( s 2 - 1 ) s 4 - 1

L t = s ( s 2 - 1 ) ( s 2 - 1 ) ( s 2 + 1 )

L t = s ( s 2 + 1 )

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 s ( s 2 + 1 )

Pela tabela 6.2.1 do livro:

L - 1 s ( s 2 + 1 ) = cos ⁡ t

Então

t = cos ⁡ t

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar um número suficiente de vezes. Então:

' t = d d t cos ⁡ t

' t = - sen ⁡ t

E

' ' t = d d t ' t = d d t - sen ⁡ t

' ' t = - cos ⁡ t

Podemos escrever a equação diferencial:

( ' ' ) t + t = - cos ⁡ t + cos ⁡ t = 0

( ' ' ) t + t = 0

Com as condições de valor inicial:

0 = cos ⁡ 0 = 1

' 0 = - sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Vamos agora resolver o problema de valor inicial:

( ' ' ) t + t = 0

Nosso primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace:

L ( ' ' ) t + L t = 0

s 2 Y s - s 0 - ' 0 + Y s = 0

s 2 + 1 Y s - s = 0

Y s = s s 2 + 1

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y ( s ) = L - 1 s s 2 + 1

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

L - 1 s s 2 + 1 → f t = cos ⁡ t

t = cos ⁡ t

E obtemos a resposta do item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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