Enunciado

(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.

t - ∫ 0 t ( t - ξ ) ξ d ξ = 1

(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar chamando k t = t e f t = 1 . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se L k ( t ) e L ( t ) existem e

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Então:

y t = ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ

Tudo bem???

Então, nossa equação se reduz à:

t - y t = f ( t )

y t = t - f t

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

L y ( t ) = L t - f t

L y ( t ) = L t - L f t

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Igualando as duas equações:

L k ( t ) x L ( t ) = L t - L f t

L t x 1 - L k t = L f t

L t = L f t 1 - L k t

Se aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 L f t 1 - L k t

t = L - 1 L f t 1 - L k t

t = L - 1 L 1 1 - L t

t = L - 1 1 s 1 - 1 s 2

t = L - 1 1 s s 2 - 1 s 2

t = L - 1 s s 2 - 1

De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:

G s = s s 2 - 1 → g t = cos h ⁡ t

t = cos h ⁡ t

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:

' t = d d t cos h ⁡ t

' t = sen h ⁡ t

E

' ' t = d d t ' t = d d t sen h ⁡ t

' ' t = cos h ⁡ t

Podemos escrever a equação diferencial:

' ' t - t = cos h ⁡ t - cos h ⁡ t = 0

Com as condições de valor inicial:

0 = cos h ⁡ 0 = 1

' 0 = sen h ⁡ 0 = 0

Passo 3

Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:

' ' t - t = 0

L ' ' t - L t = 0

Vamos chamar L t = Y ( s ) . Ficamos então com:

s 2 Y s - s 0 - ' 0 - Y s = 0

s 2 - 1 Y s - s = 0

s 2 - 1 Y s = s

Y s = s s 2 - 1

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y s = L - 1 s s 2 - 1

Pela tabela 6.2.1 do livro, para:

F s = s s 2 - 1 → f t = cos h ⁡ t

Portanto:

t = cos h ⁡ t

Que é a mesma solução obtida no item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y ' ' + 4 y ' + 4 y = g ( t ) ; y 0 = 2ey ' 0 = - 3
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y 4 - 5 y ' ' + 4 y = g ( t ) ; y 0 = 1 ,y ' 0 = 0 ,y ' ' 0 = 0ey ' ' ' 0 = 0
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos ⁡ α t ; y 0 = 1ey ' 0 = 0
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.8. L ∫ 0 t cos ⁡ τ d τ
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.10. L ∫ 0 t τ s e nτ d τ