Enunciado

Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.

(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a transformada de Laplace.

' t + t = ∫ 0 t s e n t - ξ ξ d ξ ;

0 = 1

(b) Diferenciando a equação integrodiferencial um número suficiente de vezes, converta-a em um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se L f ( t ) = F ( s ) e L g ( t ) = G ( s ) existem e

L h ( t ) = H s = L f ( t ) L g ( t ) = F s G s ,

a função h ( t ) é dada por:

h t = ∫ 0 t f ( t - ξ ) g ξ d ξ

Para o nosso exercício:

f t = sen ⁡ t

g t = t

Então

h t = ∫ 0 t sen ⁡ ( t - ξ ) ξ d ξ

E ficamos com:

' t + t = h ( t )

Aplicando a transformada de Laplace:

L ' t + L t = L h ( t )

s L t - 0 + + L t = H s

( s + 1 ) L t - 1 = F s G ( s )

s + 1 L t = 1 + 1 s 2 + 1 L t

s + 1 - 1 s 2 + 1 L t = 1

( s 3 + s 2 + s + 1 - 1 s 2 + 1 ) L t = 1

L t = s 2 + 1 s s 2 + s + 1

L t = 1 s - 1 s + 1 2 2 + 3 4

L t = 1 s - 3 2 3 2 ( s + 1 2 2 + 3 4 )

Vamos chamar:

J s = 1 s

K s = 3 2 3 2 ( s + 1 2 2 + 3 4 )

K s = 2 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4  

K s = 2 3 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4  

Então, ficamos com:

L t = J s - K ( s )

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

J s = 1 s → j t = 1

K s = 2 3 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4 → k t = 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t  

Ficamos então com

t = j t - k ( t )

t = 1 - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar um número suficiente de vezes. Então:

' t = d d t 1 - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t

' t = - 2 3 3 - 1 2 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t + 3 2 e - 1 2 t cos ⁡ 3 2 t

' t = 3 3 e - t / 2 sen ⁡ 3 2 t - e - t / 2 cos ⁡ 3 2 t

E

' ' t = d d t ' t = d d t 3 3 e - t / 2 sen ⁡ 3 2 t - e - t / 2 cos ⁡ 3 2 t

' ' t = 3 3 - 1 2 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t + 3 2 e - t 2 cos ⁡ 3 2 t - - 1 2 e - t 2 cos ⁡ 3 2 t - 3 2 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t

' ' t = 3 3 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t + e - t 2 cos ⁡ 3 2 t

Temos ainda

' ' ' t = d d t ' ' t = d d t 3 3 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t + e - t 2 cos ⁡ 3 2 t

' ' ' t = 3 3 - 1 2 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t + 3 2 e - t 2 cos ⁡ 3 2 t + - 1 2 e - t 2 cos ⁡ 3 2 t - 3 2 e - t 2 sen ⁡ 3 2 t

' ' ' t = - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t

Podemos escrever a equação diferencial:

' ' ' t - t = - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t - 1 - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t = - 1

' ' ' t - t = - 1

Com as condições de valor inicial:

0 = 1 - 2 3 3 e 0 sen ⁡ 0 = 1

' 0 = 3 3 e 0 sen ⁡ 0 - e 0 cos ⁡ 0 = - 1

' ' 0 = 3 3 e 0 sen ⁡ 0 + e 0 cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Vamos agora resolver o problema de valor inicial:

' ' ' t - t = - 1

Nosso primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace:

L ' ' ' t - L t = - L 1

s 3 Y s - s 2 0 - s ' 0 - ' ' 0 - Y s = - 1 s

s 3 - 1 Y s - s 2 + s - 1 = - 1 s

s 3 - 1 Y s = - 1 s + s 2 - s + 1

Y s = - 1 + s 3 - s 2 + s s s 3 - 1

Y s = ( s - 1 ) ( s 2 + 1 ) s ( s - 1 ) ( s 2 + s + 1 )

Y s = s 2 + 1 s ( s 2 + s + 1 )

Y ( s ) = 1 s - 1 s + 1 2 2 + 3 4

Y ( s ) = 1 s - 3 2 3 2 ( s + 1 2 2 + 3 4 )

Vamos chamar:

J s = 1 s

K s = 3 2 3 2 ( s + 1 2 2 + 3 4 )

K s = 2 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4  

K s = 2 3 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4  

Então, ficamos com:

Y ( s ) = J s - K ( s )

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

J s = 1 s → j t = 1

K s = 2 3 3 x 3 2 s + 1 2 2 + 3 4 → k t = 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t  

Ficamos então com

t = j t - k ( t )

t = 1 - 2 3 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 2 t

Obtemos a resposta do item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplo f ( t ) = s e n ( t ) .
Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade para a convolução. ( a )f * g = g * f ( b )f * ( g 1 + g 2 ) = f * g 1 + f * g 2 ( c )f * ( g * h ) = ( f * g ) * h
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução: F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4
Considere a equação t + ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ = f ( t ) Em que f e k são funções conhecidas e deve ser determinada. Como a função desconhecida aparece debaixo do sinal da integral, a equação dada é dita
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y ' ' + 2 y ' + 2 y = s e nα t ; y 0 = 0ey ' 0 = 0