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Exercícios Resolvidos de Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold - 3.Revisão - 64

O teorema do resto em Álgebra Elementar afirma que, se P(x) é um polinômio em x e r é um número real qualquer, então existe um polinômio Q(x), tal que P x = Q x x - r + P r .

Qual é o lim x → r ⁡ Q ( x ) ?

Passo 1

Precisamos aplicar o limite sobre o polinômio Q(x), podemos escrever esse polinômio em termos da equação que foi dada no enunciado:

P x = Q x x - r + P r

Bastando isolar o Q(x):

Q x = P x - P ( r ) x - r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora aplicaremos o limite:

  lim x → r ⁡ Q x =   lim x → r ⁡ P x - P ( r ) x - r

Como sabemos que P(x) é um polinômio, ele é derivável em todo domínio. Além disso, aplicar o limite sobre a função Q(x) quando x tende a r, é o mesmo que derivar o polinômio P(x) e aplicar o ponto r, então:

lim x → r ⁡ P x - P ( r ) x - r = P ' ( r )

l i m x → r Q x = P ' ( r )

Resposta

l i m x → r Q x = P ' ( r )

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