Enunciado

O teorema do resto em Álgebra Elementar afirma que, se P(x) é um polinômio em x e r é um número real qualquer, então existe um polinômio Q(x), tal que P x = Q x x - r + P r .

Qual é o lim x → r ⁡ Q ( x ) ?

Passo 1

Precisamos aplicar o limite sobre o polinômio Q(x), podemos escrever esse polinômio em termos da equação que foi dada no enunciado:

P x = Q x x - r + P r

Bastando isolar o Q(x):

Q x = P x - P ( r ) x - r

Passo 2

Agora aplicaremos o limite:

  lim x → r ⁡ Q x =   lim x → r ⁡ P x - P ( r ) x - r

Como sabemos que P(x) é um polinômio, ele é derivável em todo domínio. Além disso, aplicar o limite sobre a função Q(x) quando x tende a r, é o mesmo que derivar o polinômio P(x) e aplicar o ponto r, então:

lim x → r ⁡ P x - P ( r ) x - r = P ' ( r )

l i m x → r Q x = P ' ( r )

Resposta

l i m x → r Q x = P ' ( r )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os gráficos de uma função f e sua derivada f ' são mostrando. Qual é maior, f ' ( - 1 ) ou f ' ' ( 1 ) ?
O gráfico de f é dado. Declare, com razões, os números em que f não é diferenciável.
Calcular a diferencial das seguintes funções:(a) y = ln ⁡ ( 3 x 2 - 4 x ) ;(b) y = x + 1 e x ;(c) y = sin ⁡ ( 5 x 2 + 6 )
Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.(a) 50 ;(b) 63,5 3 ;(c) 13 4
Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.(a) 50 ;(b) 63,5 3 ;(c) 13 4