Enunciado

Dada

f ( x ) = x 2 + 2   s e   x ≤ 3 20 - x 2   s e   x > 3

(a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine se f é contínua em 3. (c) determine se f é derivável em 3.

Passo 1

Para a letra (a) o gráfico abaixo mostra em vermelho a primeira parte da função para x < 3 e em azul para x ≥ 3

Passo 2

Para a letra (b), vamos analisar se a função é contínua em 3, primeiro fazemos x tender a 3 pela esquerda:

lim x → 3 - f x = lim x → 3 - ⁡ x 2 + 2 = 11

Agora pela direita:

l i m x → 3 + f x = l i m x → 3 + 20 - x 2 = 11

E então resolvemos a função quando x = 3 :

f 3 = 3 2 + 2 = 11

Como todas deram o mesmo resultado, a função é contínua em 3.

Passo 3

Na letra (c) precisamos mostrar que a função é derivável em 3, para isso, aplicamos a definição de derivada com x tendendo a 3 pela esquerda e pela direita:

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ f x - f ( 3 ) x - 3 = l i m x → 3 - x 2 + 2 - 11 x - 3

f - ' 3 = l i m x → 3 - x 2 - 9 x - 3 = l i m x → 3 - x - 3 x + 3 x - 3

Simplificando:

f - ' 3 = l i m x → 3 - x + 3

Aplicando o limite:

f - ' 3 = 6

Fazendo agora pela direita:

f + ' 3 = lim x → 3 + ⁡ f x - f ( 4 ) x - 3 = l i m x → 3 + 20 - x 2 - 11 x - 3

f + ' 3 = l i m x → 3 + 9 - x 2 x - 3 = l i m x → 3 + - x - 3 x + 3 x - 3

f + ' 3 = l i m x → 3 + - x + 3

f + ' 3 = - 6

Como os resultados são diferentes, f não é derivável em 3.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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