Enunciado

  1. Expanda f x = x / 1 - x 2 como uma série de potências.
  2. Use a parte a) para encontrar a soma da série

∑ n = 1 ∞ n 2 n

Passo 1

Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = x 1 - x 2 = x ⋅ 1 - x - 2

Agora, vamos substituir o valor k = - 2 e no lugar de x colocar - x na série. Sendo assim, temos:

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 2 n - x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

- 2 0 = 1

- 2 1 = - 2 1 = - 2 1 = - 2

- 2 2 = - 2 ⋅ - 2 - 1 2 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 1 = 3

- 2 3 = - 2 ⋅ - 2 - 1 ⋅ - 2 - 2 3 ⋅ 2 = - 2 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = - 4

- 2 4 = - 2 ⋅ - 2 - 1 ⋅ - 2 - 2 ⋅ - 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5

- 2 5 = - 2 ⋅ - 2 - 1 ⋅ - 2 - 2 ⋅ - 2 - 3 ⋅ - 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = - 6

Portanto, o padrão para n ≥ 0 é:

- 2 n = - 1 n ( n + 1 )

Sendo assim, a nossa série é

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 2 n - x n = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 ⋅ - 1 n x n

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ x n + 1

Vamos só fazer uma modificação de variáveis. Se chamarmos um novo n de n + 1 na série anterior, teremos:

f x = ∑ n = 1 ∞ n ⋅ x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

Vamos comparar a nossa série obtida com a série que queremos descobrir o valor.

∑ n = 1 ∞ n ⋅ x n = ∑ n = 1 ∞ n 2 n

Percebam que a segunda foi obtida fazendo x = 1 / 2 . Sendo assim,

f 1 2 = 1 2 1 - 1 2 2 = 1 2 1 4 = 2

Mas também

f 1 2 = ∑ n = 1 ∞ n ⋅ 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n 2 n

Portanto,

∑ n = 1 ∞ n 2 n = 2

E é isso ai!

Resposta

  1. f x = ∑ n = 1 ∞ n ⋅ x n

∑ n = 1 ∞ n 2 n = 2

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