Enunciado

Prove que f (x) = root(n)(x) é contínua.

Passo 1

Nessa questão devemos provar root(n)(x) está compreendido dentro do intervalo continuo de uma função. Mas vamos fazer isso formalmente, então vamos usar varias letras e conceitos.

Então devemos provar que f é contínua em todo p dado, onde p é um ponto da função.

Para isso, devemos provar que para qualquer ϵ > 0 exista um intervalo aberto I que contenha p e satisfaça:

x in I ⟹ root(n)(p) - ϵ < root(n)(x) < root(n)(p) + ϵ

Precisamos resolver a inequação, mas temos comportamentos diferentes de f para n ímpar ou n par, então devemos analisar cada caso separadamente:

Passo 2

1º Caso: n é ímpar:

Sendo n ímpar, temos:

root(n)(p) - ϵ < root(n)(x) < root(n)(p) + ϵ

(root(n)(p) - ϵ)^n < x < (root(n)(p) + ϵ)^n

Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto I como:

I = ((root(n)(p) - ϵ)^n , (root(n)(p) + ϵ)^n)

Então, para todo x temos que x in I ⟹ root(n)(p) - ϵ < root(n)(x) < root(n)(p) + ϵ

Logo, f é contínua em todo p real quando n é ímpar.

Passo 3

2º Caso: n é par:

Nesse segundo caso, devemos lembrar que não existe raiz com índice par de número negativo, então temos sempre x >= 0 . Ou seja, vamos estudar apenas os valores positivos de p e ele no ponto zero. Então, para ϵ > 0 , temos:

Para p = 0 :

- ϵ < root(n)(x) < + ϵ

Como

(- ϵ)^2 = (+ ϵ)^2

Temos que

0 <= x < ϵ^n

Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto I como:

I = (0 , ϵ^n)

Então, para todo x temos que x in I ⟹ x^n < ϵ

Logo, f é contínua em p = 0 .

Para p > 0 , temos que para todo ϵ > 0 desde que ϵ < root(n)(p) :

root(n)(p) - ϵ < root(n)(x) < root(n)(p) + ϵ

(root(n)(p) - ϵ)^n < x < (root(n)(p) + ϵ)^n

Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto I como:

I = ((root(n)(p) - ϵ)^n , (root(n)(p) + ϵ)^n)

Onde temos:

x in I ⟹ root(n)(p) - ϵ < root(n)(x) < root(n)(p) + ϵ

Logo, f é contínua em todo p real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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