Enunciado

Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

G t = ln ⁡ ( t 4 - 1 )

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá uma função e já diz que ela é contínua em todo o seu domínio:

G t = ln ⁡ ( t 4 - 1 )

Só que a gente tem que usar os teoremos 4, 5, 7 e 9 pra explicar porque que ela é continua! Além disso precisamos dizer que domínio é esse.

Vamos lá, revisando:

  • O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
  • O teorema 5 diz que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
  • O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
  • Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Temos uma função trigonométrica e o seu argumento é um exponencial que é raiz! Mas calma, a gente vai analisar essa função devagarinho no próximo passo!

Ahhh, uma função contínua é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel!

Passo 2

Aqui a gente tem uma função logarítmica com um argumento polinomial, que é o t 4 - 1 . Pro log existir ele tem que ter um argumento maior que zero, então:

t 4 - 1 > 0

Podemos fatorar a expressão:

t 4 - 1 = t 2 2 - 1 2 = t 2 + 1   t 2 - 1

= t 2 + 1   t + 1   ( t - 1 )

Assim, as raízes reais de t 4 - 1 são - 1 e 1 . O quadro se sinal para essa expressão é:

Como estamos interessados nos pontos em que t 4 - 1 > 0 , as soluções da inequação são os intervalos   ( - ∞ ,   - 1 ) e   ( 1 ,   ∞ ) . Assim, o domínio de G é

D G = - ∞ ,   - 1   ∪   ( 1 ,   ∞ )

Passo 3

Pelos teoremas 5 e 7, as funções t 4 - 1 e ln ⁡ t são contínuas em seus domínios. E aqui temos:

G t = ln ⁡ t 4 - 1

Reparou que ela é uma função composta?! Pelo teorema 9 ela é uma função contínua em seu domínio!

Resposta

Demonstração e   D G = - ∞ ,   - 1   ∪   ( 1 ,   ∞ ) .

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