Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f t = t + cos ⁡ t ,   - 2 π ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' t = 1 - sen ⁡ t  

Então, f ' t > 0 em - 2 π < t < - 3 π 2 , - 3 π 2 < t < π 2 e π 2 < t < 2 π e não existe f ' t < 0 em seu domínio.

Portanto, f é crescente em todo seu domínio.

Passo 2

Como f é crescente em todo seu domínio, não possui máximos ou mínimos locais além das extremidades t = - 2 π (valor mínimo) e t = 2 π (valor máximo).

Passo 3

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' t = - cos ⁡ t

Então, analisando o sinal da função temos:

f ' ' t > 0 em - 3 π 2 < t < - π 2 e π 2 < t < 3 π 2

f ' ' t < 0 em - 2 π < t < - 3 π 2 , - π 2 < t < π 2 e 3 π 2 < t < 2 π

Portanto, f possui concavidade para cima nos intervalos - 3 π 2 , - π 2 e π 2 , 3 π 2 e concavidade para baixo nos intervalos - 2 π , - 3 π 2 , - π 2 , π 2 e 3 π 2 , 2 π .

E os pontos de inflexão são t = - 3 π 2 , t = - π 2 , t = π 2 e t = 3 π 2 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a)   f é crescente em todo seu domínio.

(b)   t = - 2 π (valor mínimo) e t = 2 π (valor máximo).

(c) f possui concavidade para cima nos intervalos - 3 π 2 , - π 2 e π 2 , 3 π 2 e concavidade para baixo nos intervalos - 2 π , - 3 π 2 , - π 2 , π 2 e 3 π 2 , 2 π .

E os pontos de inflexão são t = - 3 π 2 , t = - π 2 , t = π 2 e t = 3 π 2 .

(d)

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