Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 44
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Então, em , e e não existe em seu domínio.
Portanto, é crescente em todo seu domínio.
Passo 2
Como é crescente em todo seu domínio, não possui máximos ou mínimos locais além das extremidades (valor mínimo) e (valor máximo).
Passo 3
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Então, analisando o sinal da função temos:
em e
em , e
Portanto, possui concavidade para cima nos intervalos e e concavidade para baixo nos intervalos , e .
E os pontos de inflexão são , , e .
Passo 4
Item d:
Com as informações obtidas, temos o gráfico:
Resposta
(a) é crescente em todo seu domínio.
(b) (valor mínimo) e (valor máximo).
(c) possui concavidade para cima nos intervalos e e concavidade para baixo nos intervalos , e .
E os pontos de inflexão são , , e .
(d)