Enunciado

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )

Passo 1

O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Como s e n - 1 x é a função inversa do seno, seu domínio é a imagem da função seno, assim o domínio de F é restrito a - 1 ≤ x 2 - 1 ≤ 1 . Assim, temos que

0 ≤ x 2 ≤ 2

A solução para essa inequação é - 2   ≤ x ≤ 2 . Então o domínio de F é

D f = [ - 2 ,   2 ]

Passo 3

Pelos teoremas 5 e 7, as funções x 2 - 1 e s e n - 1 x são contínuas. Como a composta de funções contínuas é contínua (teorema 9), F é uma função contínua em seu domínio.

Resposta

R: demonstração e   D f = [ - 2 ,   2 ] .

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