Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 2.5 - Ex. 26
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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Passo 1
O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.
O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.
Passo 2
Como é a função inversa do seno, seu domínio é a imagem da função seno, assim o domínio de é restrito a . Assim, temos que
A solução para essa inequação é . Então o domínio de é
Passo 3
Pelos teoremas 5 e 7, as funções e são contínuas. Como a composta de funções contínuas é contínua (teorema 9), é uma função contínua em seu domínio.
Resposta
R: demonstração e.
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