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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado

f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )

Passo 1

Bom galera, estamos interessados em mostrar pelo Teorema do Valor Intermediário que existe uma raiz para a equação apresentada dentro do intervalo especificado. Nossa função é uma função exponencial, portanto é continua no intervalo [ - ∞ ,   ∞ ] e possui um l n x , que é uma função não definida no 0 porém definida no intervalo ( 1 ,   2 ) , que é o nosso interesse. Iremos aplicar os valores do intervalo na equação dada para depois utilizar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Aplicando x = 1 na equação, temos:

f 1 = ln ⁡ 1 - e - 1 = - 1 e = - 0.3678

Aplicando x = 2 na equação, temos:

f 2 = ln ⁡ 2 - e - 2 = 0.5578

Passo 3

Como   - 0.3678 < 0 < 0.5578 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 1 ,   2 ) há um número c tal que f c = 0

Resposta

Como   0.3678 < 0 < 0.5578 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 1 ,   2 ) há um número c tal que f c = 0 . Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo 1 ,   2 .

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