Enunciado

Expresse o comprimento de arco exato da curva acima do intervalo dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical; em seguida, calcule a integral usando um CAS.

y = ln ⁡ ( sec ⁡ x )   d e   x = 0   a t é   x = π 4

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai ter que jogar nessa fórmula aqui:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x  

Vamos começar derivando a função:

y ' = 1 sec ⁡ x   ( sec ⁡ x ) '

y ' = 1 sec ⁡ x sec ⁡ x   t g   x

y ' = t g   x

Passo 2

Show! Agora a gente eleva isso a dois e soma com 1:

t g 2 x + 1

Pelas relações trigonométricas, a gente sabe que:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

E aí jogando no radical da fórmula, a gente vai ter:

sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x

Eliminamos o radical!

Passo 3

Agora a questão pede pra a gente usar um CAS pra calcular a integral que é:

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x   d x

Calculando essa integral pelo Desmos, encontramos o valor aproximado de:

L = 0,8814

E prontinho! 😉

Resposta

L = 0,8814

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