Enunciado

Expresse a função na forma por partes, sem usar valores absolutos. [Sugestão: Pode ser útil gerar o gráfico da função.]

(a) f x = x + 3 x + 1

(b)   f x = x + x - 1

Passo 1

(a) Então temos a função   f x = x + 3 x + 1 e queremos escrevê-la por partes, o que seria isso? Vamos procurar uma lógica de formação dessa função a partir de intervalos de x . Ou seja, ela vai assumir um valor até um ponto e, a partir dele, assume outro valor. Vamos ver isso com calma.

Vamos usar a sugestão do problema e olhar para a função, para entender melhor do que se trata:

Essa é a nossa função. E você pode ver que até o x = 0 ela parece ter um comportamento e, a partir dele, outro comportamento. Nosso intuito é descobrir esses comportamentos! Vamos lá!

Passo 2

Como podemos fazer isso? Cara, a função módulo tem a característica de “ignorar” o sinal, certo? Se for positivo, continua sendo, mas se for negativo, passa a ser positivo. Tudo fica positivo! Ou seja, se x for positivo, continua sendo x , mas se for negativo, fazemos - x e calculamos o valor da função.

Para achar os comportamentos de uma função assim, nós substituímos o | x | por + x (pegando os valores positivos do x ) e por - x (pegando os valores negativos do x ) e vamos achar uma função diferente para cada substituição do x . Então, vamos usar o x → + x , primeiro:

f x = x + 3 x + 1

f x = + x + 3 x + 1  

f x = 4 x + 1

Essa é a função para os valores positivos de x .

Para os negativos, faremos x → - x :

f x = x + 3 x + 1

f x = - x + 3 x + 1  

f x = 2 x + 1

Essa é a função para os valores negativos de x .

Agora, é só juntar essas duas informações! No fim do dia, temos que:

f x = 4 x + 1 ,   s e   x ≥ 0 2 x + 1 ,   s e   x < 0

Prontinho!

Passo 3

(b) Então temos a função   f x = x + x - 1 e queremos escrevê-la por partes. A ideia será a mesma da letra anterior, ok? Só vai mudar a função.

Vamos usar a sugestão do problema e olhar para a função, para entender melhor do que se trata:

Qual vai ser a grande diferença dessa função para a da letra anterior? Repare ali que temos 3 comportamentos diferentes: um até o x = 0 , outro dali até x = 1 e o último a partir daí. Por quê isso?

Porque agora temos dois módulos na função. Então, agora, vamos pegar valores quando x → + x e x - 1 → + x - 1 , quando x → + x ; x - 1 → - x + 1 e quando x → - x ; x - 1 → - x + 1 . Ou seja, quando os dois são negativos, um é positivo e o outro é negativo e quando os dois são positivos! Vamos lá!

Obs.: quando trocamos o sinal do módulo, trocamos o sinal dele todo! Repare que trocamos o x - 1 por - x + 1 em algum momento!

Passo 4

Então, vamos usar o x → + x e x - 1 → + x - 1 , primeiro:

f x = x + x - 1

f x = + x + x - 1  

f x = 2 x - 1

Essa é a função para os valores positivos de x , a partir do x = 1 .

Agora, faremos x → + x ; x - 1 → - x + 1 :

f x = x + x - 1

f x = + x - x + 1  

f x = 1

Essa é a função para os valores positivos de x , até x = 1 .

Para os negativos, faremos x → - x ; x - 1 → - x + 1 :

f x = x + x - 1

f x = - x - x + 1  

f x = - 2 x + 1

Essa é a função para os valores negativos de x .

Agora, é só juntar essas três informações! No fim do dia, temos que:

f x = 2 x - 1 ,   s e   x > 1 1 ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 - 2 x + 1 ,   s e   x < 0

Prontinho!

Resposta

(a) f x = 4 x + 1 ,   s e   x ≥ 0 2 x + 1 ,   s e   x < 0

(b) f x = 2 x - 1 ,   s e   x > 1 1 ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 - 2 x + 1 ,   s e   x < 0

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