Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida.

underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (i^4)/(n^5)

Passo 1

Se a integral é dada por:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x

Passo 2

E como x_i = a + (i (b - a))/(n) e Delta x = (b - a)/(n) , temos:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (a + (i (b - a))/(n)) (b - a)/(n)

Passo 3

Podemos ver que o valor de i foi elevado à quarta potência, então podemos considerar

f (x) = x^4

Então, se b - a = 1 para e a <= x <= b podemos supor a = 0 e b = 1 para escrever a integral como:

underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (i^4)/(n^5) = int_0^1 x^4 d x

Resposta

underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (i^4)/(n^5) = int_0^1 x^4 d x

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