Use áreas para calcular a integral

∫ 0 b x 2   d x ,   b > 0

Passo 1

Precisamos relacionar a integral dada com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = 0

b = b

Desta forma, temos um limite inferior fixo e um limite superior móvel! Logo, a nossa resposta provavelmente será função de b !

Passo 3

A nossa função é f x = x / 2 . O seu gráfico é o de uma reta que passa pela origem com uma inclinação de 1 / 2 . Vejamos abaixo o seu gráfico

Conforme era esperado, a região entre o eixo X e a nossa função para x > 0 é um triângulo retângulo.

Passo 4

A base desse triângulo corresponde ao comprimento do intervalo 0 , b . Desta forma, ela é expressa por:

B a s e = b - 0 = b

Já a altura corresponde a interseção da função f x = x / 2 com a reta x = b . Desta forma, temos:

A l t u r a = f b = b 2

Agora, só nos falta calcular a área do triângulo. Portanto,

Á r e a = B a s e ⋅ A l t u r a 2 = b ⋅ b 2 2 = b 2 4

Logo,

∫ 0 b x 2   d x = b 2 4

Resposta

∫ 0 b x 2   d x = b 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados