Enunciado

Use áreas para calcular a integral

int_0^b (x)/(2) d x , b > 0

Passo 1

Precisamos relacionar a integral dada com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = 0

b = b

Desta forma, temos um limite inferior fixo e um limite superior móvel! Logo, a nossa resposta provavelmente será função de b !

Passo 3

A nossa função é f (x) = x // 2 . O seu gráfico é o de uma reta que passa pela origem com uma inclinação de 1 // 2 . Vejamos abaixo o seu gráfico

Conforme era esperado, a região entre o eixo X e a nossa função para x > 0 é um triângulo retângulo.

Passo 4

A base desse triângulo corresponde ao comprimento do intervalo [0 , b] . Desta forma, ela é expressa por:

B a s e = b - 0 = b

Já a altura corresponde a interseção da função f (x) = x // 2 com a reta x = b . Desta forma, temos:

A l t u r a = f (b) = (b)/(2)

Agora, só nos falta calcular a área do triângulo. Portanto,

Á r e a = (B a s e * A l t u r a)/(2) = (b * (b)/(2))/(2) = (b^2)/(4)

Logo,

int_0^b (x)/(2) d x = (b^2)/(4)

Resposta

int_0^b (x)/(2) d x = (b^2)/(4)

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