Enunciado

Demonstre a propriedade 3 das integrais.

Passo 1

A propriedade 3 das integrais no diz que se tivermos uma constante c e uma função integrável f (x) , então:

int_a^b c f (x) d x = c int_a^b f (x) d x

Passo 2

Para demonstrar isso, basta, escrevermos a primeira integral como limite do somatório:

int_a^b c f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n c f (x_i) Delta x =

= underset(n -> oo)(lim) ( c f (x_1) Delta x + c f (x_2) Delta x + c f (x_3) Delta x + ... + c f (x_n - 1) Delta x + c f (x_n) Delta x )

= underset(n -> oo)(lim) c ( f (x_1) Delta x + f (x_2) Delta x + f (x_3) Delta x + ... + f (x_n - 1) Delta x + f (x_n) Delta x )

= c underset(n -> oo)(lim) ( f (x_1) Delta x + f (x_2) Delta x + f (x_3) Delta x + ... + f (x_n - 1) Delta x + f (x_n) Delta x )

= c underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x = c int_a^b f (x) d x

Logo, comprovamos que:

int_a^b c f (x) d x = c int_a^b f (x) d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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