Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 29
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essa identidade, vamos supor que o campo vetorial é dessa forma aqui ó:
Ok?
Passo 2
Vamos ver agora o que o divergente, o rotacional e o laplaciano de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor qualquer opera assim ó:
Quando está com produto vetorial com um vetor qualquer opera assim:
E o laplaciano de um vetor é:
E o gradiente de uma função escalar :
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Passo 3
Legal! O próximo passo é calcular o rotacional de . Conforme definimos no passo anterior temos:
E agora aplicar novamente o rotacional:
Passo 4
Agora vem o truque sujo!! Vou somar e subtrair (portanto não muda nada na equação total) os seguintes termos dentro dos colchetes do lado direito:
- No primeiro colchete:
- No segundo colchete:
- No terceiro colchete:
Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação! Ou seja: !
E reorganizar os termos de cada componente (agrupando os termos positivos e negativos):
Comparando com os termos do laplaciano no passo , identificamos que os três últimos termos de cada colchete é . E aplicando a propriedade das derivadas mistas, saca só como vou reescrever os três primeiros termos de cada componente:
Olha só o que encontramos! Dentro dos parênteses de cada colchete podemos ver as componentes do divergente , mas juntando isso com as derivadas parciais do lado de fora, identificamos o gradiente desse divergente!
E como já tínhamos menos o laplaciano de , podemos juntar todos esses resultados em um só!
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D