Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essa identidade, vamos supor que o campo vetorial F → é dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora o que o divergente, o rotacional e o laplaciano de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

E o laplaciano de um vetor é:

∇ 2 v → = ∂ 2 a ∂ x 2 + ∂ 2 a ∂ y 2 + ∂ 2 a ∂ z 2 i → + ∂ 2 b ∂ x 2 + ∂ 2 b ∂ y 2 + ∂ 2 b ∂ z 2 j → + ∂ 2 c ∂ x 2 + ∂ 2 c ∂ y 2 + ∂ 2 c ∂ z 2 k →

E o gradiente de uma função escalar b :

∇ b = ∂ b ∂ x i → + ∂ b ∂ y j → + ∂ b ∂ z k →

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Legal! O próximo passo é calcular o rotacional de F → . Conforme definimos no passo anterior temos:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = i → ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z + j → ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x + k → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

E agora aplicar novamente o rotacional:

∇ × ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = i → ∂ 2 F 2 ∂ y ∂ x - ∂ 2 F 1 ∂ y 2 - ∂ 2 F 1 ∂ z 2 + ∂ 2 F 3 ∂ x ∂ z + j → ∂ 2 F 3 ∂ z ∂ y - ∂ 2 F 2 ∂ z 2 - ∂ 2 F 2 ∂ x 2 + ∂ 2 F 1 ∂ y ∂ x + k → ∂ 2 F 1 ∂ z ∂ x - ∂ 2 F 3 ∂ y 2 - ∂ 2 F 3 ∂ x 2 + ∂ 2 F 2 ∂ z ∂ y

Passo 4

Agora vem o truque sujo!! Vou somar e subtrair (portanto não muda nada na equação total) os seguintes termos dentro dos colchetes do lado direito:

  • No primeiro colchete: + ∂ 2 F 1 ∂ x 2 - ∂ 2 F 1 ∂ x 2
  • No segundo colchete: + ∂ 2 F 2 ∂ y 2 - ∂ 2 F 2 ∂ y 2
  • No terceiro colchete: + ∂ 2 F 3 ∂ z 2 - ∂ 2 F 3 ∂ z 2

Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação! Ou seja: ∂ 2 a ∂ x ∂ y = ∂ 2 a ∂ y ∂ x !

E reorganizar os termos de cada componente (agrupando os termos positivos e negativos):

∇ × ∇ × F → = i → ∂ 2 F 1 ∂ x 2 + ∂ 2 F 2 ∂ y ∂ x + ∂ 2 F 3 ∂ x ∂ z - ∂ 2 F 1 ∂ x 2 - ∂ 2 F 1 ∂ y 2 - ∂ 2 F 1 ∂ z 2 + j → ∂ 2 F 1 ∂ y ∂ x + ∂ 2 F 2 ∂ y 2 + ∂ 2 F 3 ∂ z ∂ y - ∂ 2 F 2 ∂ x 2 - ∂ 2 F 2 ∂ y 2 - ∂ 2 F 2 ∂ z 2 + k → ∂ 2 F 1 ∂ z ∂ x + ∂ 2 F 2 ∂ z ∂ y + ∂ 2 F 3 ∂ z 2 - ∂ 2 F 3 ∂ x 2 - ∂ 2 F 3 ∂ y 2 - ∂ 2 F 3 ∂ z 2

Comparando com os termos do laplaciano no passo 2 , identificamos que os três últimos termos de cada colchete é - ∇ 2 F → i . E aplicando a propriedade das derivadas mistas, saca só como vou reescrever os três primeiros termos de cada componente:

∇ × ∇ × F → = i → ∂ ∂ x ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 1 + j → ∂ ∂ y ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 2 + k → ∂ ∂ z ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z - ∇ 2 F 3

Olha só o que encontramos! Dentro dos parênteses de cada colchete podemos ver as componentes do divergente F → , mas juntando isso com as derivadas parciais do lado de fora, identificamos o gradiente desse divergente!

E como já tínhamos menos o laplaciano de F → , podemos juntar todos esses resultados em um só!

∇ × ∇ × F → = ∇ ∇ ⋅ F → - ∇ 2 F →

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ × ∇ × F → = ∇ ∇ ⋅ F → - ∇ 2 F →

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