Enunciado

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

a) x 2 - y 2 = 4

Passo 1

Quando vemos função implícita eu aconselho você a pisar um pouco no freio. Aqui é uma parte mais avançada de calculo. Se dermos mole podemos passar por alto em detalhes aqui. Existem funções que derivar diretamente seria fácil por exemplo esta agora

x 2 - y 2 = 4

y 2 = x 2 - 4

y = ±   x 2 - 4

Mas o intuito de exercícios assim é testar nossas habilidades com a regra da cadeia. Vamos derivar os dois membros da equação em relação a x :

d d x x 2 - y 2 = d d x 4

Quando formos derivar - y ²   vamos fazer a regra da cadeia. Podemos dizer que y = f ( x ) . Então

d d x   - f 2 x = - 2 f x * f ' x

Então nossa equação fica :

2 x - 2 y d y d x = 0

d y d x = 2 x 2 y

d y d x = x y

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

d y d x = x y

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Demonstrar que a reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto ( x 0 ,y 0 ) tem a equação x x 0 a 2 + y y 0 b 2 = 1 .