Enunciado

( a ) Encontre y ' por derivada implícita. b Resolva a equação explícita por x e a depois encontre y ' . c Cheque as soluções dos dois métodos a e b anteriores são consistentes e substitua y na solução da parte a .

3.

x + y = 1

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema é dividido em três partes. Na primeira, ele nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x + y = 1 d d x x + y = d d x ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia para y (isso é, sempre que derivar um y , multiplica por y ' ).

E depois vamos encontrar a derivada resolvendo a equação explícita, isso é, temos que pegar a equação e isolar o y e então derivar a função que vai resultar.

Passo 2

Começando derivando a função implicitamente:

d d x x + y = d d x ( 1 )

Aqui é só derivar normalmente para x e para y , sendo que sempre que derivar o y tem que multiplicar por y ' (isso vem da regra da cadeia, mas não precisa se preocupar muito com isso não, é só sempre que derivar o y multiplicar por y ' ).

1 2 x + 1 2 y y ' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y ' = - 1 2 x 1 2 y

y ' = - y x

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte. Ela nos pede para resolvermos a equação explicitamente para y , e assim, encontrarmos y ' .

Isolando o y na equação,temos:

x + y = 1 y = 1 - x y = 1 - x 2

y = 1 - 2 x + x

Sendo assim, derivando essa expressão vamos obter a seguinte derivada:

y ' = - 2 1 2 x - 1 2 + 1

y ' = 1 - 1 x

Passo 4

Por fim, temos que comparar as etapas anteriores e ver se estas concordam. Logo:

- y x = 1 - 1 x

Até então parece que essas coisas não concordam muito né. Na verdade, temos que verificar se essa igualdade é verdadeira.

Se pegarmos a expressão dada no enunciado temos que:

x + y = 1

Se isolarmos o y , obtemos:

y = 1 - x

Substituindo na igualdade, temos:

- 1 - x x = 1 - 1 x

Se multiplicarmos ambos os lados por x , obtemos:

- 1 - x = x - 1

E por fim, multiplicando o negativo na esquerda, temos:

- 1 + x = x - 1

É realmente a igualdade é verdade e portanto as respostas batem!

Resposta

y ' = - y x

y ' = 1 - 1 x

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