1.

Calcule

lim h , k → 0,0 ⁡ f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k

onde f x , y = x 2 + y

Resolução
2.

O valor do limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d)

(e) 1.

Resolução
3.

Seja

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Resolução
4.

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

Resolução
5.

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y → 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) não existe.

Resolução
6.

Se

f x , y = x 4 cos 2 ⁡ y x 2 + y 2

Então

  1. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) não pode ser calculado pois f ( x , y ) não está definida em ( 0,0 )
  2. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) não existe
  3. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0
  4. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 1
  5. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 2
Resolução
7.

Calcule o seguinte limite, caso exista:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2

Resolução
8.

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Resolução
9.

Seja a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2

  1. Verifique que lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0
Resolução
10.

Considere os seguintes limites:

i ) lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 sin ⁡ y x 2 + y 2

i i )   lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Então:

a I existe e I I não existe;

b I existe, I I existe e são iguais;

c I existe, I I existe, mas são diferentes;

d I não existe e I I não existe;

e I não existe e I I existe.

Resolução
11.

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4

Resolução
12.

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0 , 1 ⁡ x 2 x + 1 + y - 1 2 x 2 + y - 1 2

Resolução
13.

Calcule os seguintes limites, caso existam:

b) lim x , y → 0,2 ⁡ x 2 y - 2 x 2 x 2 + y 2 - 4 y + 4

Resolução
14.

O valor do limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d)

(e) 1.

Resolução
15.

Considere os seguintes limites:

i )   lim x , y → 1,0 ⁡ x y x 2 + y 2 i i )   lim x , y → 0 , 0 ⁡ x ² x 2 + y 4

Então:

(a) i ) existe, i i ) não existe

(b) i ) existe, i i ) existe

(c) i ) não existe, i i ) existe

(d) i ) não existe, i i ) não existe

(e) nenhuma das outras opções

Resolução
16.

Calcule, caso exista

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4

Resolução
17.

Determine o limite, se existir, ou prove que o limite não existe:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Não é permitido usar coordenadas polares.

Resolução
18.

Determine o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Resolução
19.

Considere a função

f x ,   y = 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y é

a) - 2 .

b) - 1 .

c) 1 .

d) 0 .

e) inexistente.

Resolução
20.

Considere a função

f x ,   y = 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 0 ,   1 ⁡ f x ,   y é

a) - 1 .

b) 0 .

c) - 2 .

d) 2 .

e) inexistente.

Resolução
21.

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Resolução
22.

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 1,0 ⁡ x - 1 y 2 x - 1 2 + y 2

Resolução
23.

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,1 ⁡ x 2 x + 1 + ( y - 1 ) ² x 2 + ( y - 1 ) ²

Resolução

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