Enunciado

Um fabricante produz peças de tecido com tamanho fixo. A quantidade q de cada peça de tecido vendida (medida em metros) é uma função do preço p (em dólares por metro); logo, podemos escrever q = f ( p ) . Então, a receita total conseguida com o preço de venda p é R p = p f ( p ) .

(a) O que significa dizer que f 20 = 10   000 e f ' 20 = - 350 ?

(b) Tomando os valores da parte (a), encontre R ' ( 20 ) e interprete sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos disse que um fabricante produz peças de tecido e vende uma determinada quantidade q de tecido em função do preço p , o que nos dá a relação:

q = f ( p )

Aí ele nos diz que a receita total conseguida com o preço de venda é:

R p = p f ( p )

Então, a receita depende da quantidade de tecido vendida, que depende do preço p .

Beleza, aí nós precisamos interpretar essa situação pra descobrir o que significa f 20 = 10   000 e f ' 20 = - 350 , e depois calcular R ' ( 20 ) usando esses valores.

Vamos lá!

Passo 2

Sabemos que q = f ( p ) , isto é, a quantidade de material para a fabricação de tecidos é uma função do preço de venda, então f 20 = 10000 é a quantidade de tecido ( q = 10000 ) quando o preço de venda é de 20   d ó l a r e s .

Agora, calculando f ' ( p ) , teremos a taxa de variação da quantidade de material usado para fabricação dos tecidos.

Se f ' p for positiva, significa que a quantidade de material está sendo aumentada, do contrário, se for negativa, a quantidade estaria sendo diminuída.

Então, f ' 20 = - 350 significa que a quantidade de material empregado na fabricação dos tecidos está diminuindo a uma taxa de 350 metros quando o preço de venda é de 20   d ó l a r e s .

Passo 3

Agora vamos determinar o valor de R ' ( 20 ) , e descobrir o seu significado, usando os valores do item (a).

Primeiro vamos derivar a função R ( p ) em relação a p que é nossa variável. Como R p = p f ( p ) , precisamos usar a Regra do Produto na derivação ( f g ' = f ' g + f g ' ). Dessa forma, temos:

R ' p = 1 f p + p f ' p

R ' p = f p + p f ' ( p )

Como f 20 = 10   000 e f ' 20 = - 350 , vamos substituir na equação:

R ' 20 = f 20 + 20 ∙ f ' 20

R ' 20 = 10000 + 20 ∙ - 350

E obtemos:

R ' 20 = 3000

Observe que R ' p   é a taxa de variação da renda, então R ' 20 = 3000 significa que a taxa de variação da renda está crescendo a uma taxa de 3000 , quando o preço de venda é de 20   d ó l a r e s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f 20 = 10000 → q u a n t i d a d e   d e   t e c i d o   q u a n d o   p = 20

f ' 20 = - 350 → t a x a   d e   v a r i a ç ã o   d a   q u a n t i d a d e   d e   t e c i d o   q u a n d o   o   p r e ç o   é   d e   U $ 20

R ' 20 = 3000

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive.
Derive a função: g ( x ) = 3 x - 1 2 x + 1
Derive.
Derive: g x = x + 2 x e x
Derive: f x = 3 x 2 + 5 x e x