Enunciado

Calcule a área limitada pela curva (coordenadas polares) :

ρ = 2 - c o s ⁡ ( θ )

Passo 1

Sabemos que a fórmula para coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Logo:

ρ ² = ( 2 - c o s ⁡ ( θ ) )² = 4 - 4 cos ⁡ θ +   c o s ² ( θ )

Integrando a expressão

0,5 ∫ 0 2 π 4 - 4 cos ⁡ θ +   c o s 2 θ d θ = ( 4 θ - 4 s e n ( θ ) + θ 2   + sen(2 θ ) / 2 )*1/2

Obs: utilizamos a expressão c o s 2 θ = 1 2 + 1 2 c o s ⁡ ( 2 θ ) para integrar o cos²( θ ).

Aplicando-se os limites de integração, temos:

0,5 ∫ 0 2 π 4 - 4 cos ⁡ θ +   c o s 2 θ d θ = 9 π 2

Resposta

A área vale 9 π 2

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