Enunciado

(a) Faça uma conjectura para a capacidade de suporte da população dos Estados Unidos. Use-a, e também o fato de que a população era de 250 milhões em 1990 , para formular um modelo logístico para a população norte-americada.

(b) Determine o valor de k em seu modelo usando o fato de que a população norte-americana em 2000 era de 275 milhões.

(c) Use seu modelo para prever a população dos Estados Unidos nos anos 2100 e 2200 .

(d) Utilize seu modelo para prever o ano no qual a população ultrapassará 350 milhões.

Passo 1

(a) E aê, pessoal! Aqui temos que fazer uma conjectura, uma hipótese para a capacidade de suporte da população estadunidense. Digamos que seja 4 bilhões de pessoas, beleza? Mas vamos medir a população em milhões, pode ser? Então:

K = 4000

Vamos formular um modelo logístico pra essa população, assim:

P t = K 1 + C e - k t     ,       C = K - P 0 P 0

Vamos considerar t em anos contados a partir de 1990 , de forma que P 0 = 250 .

C = 4000 - 250 250 = 15

Então,

P t = 4000 1 + 15   e - k t

Passo 2

(b) Precisamos determinar o valor de k agora, e pra isso, vamos usar a nova informação P 10 = 275 , já que 10 anos depois a população estadunidense era 275 milhões, tudo certo?

P 10 = 4000 1 + 15   e - k   .   10 = 275

1 + 15   e - 10 k = 4000 275

k = - 1 10 ln ⁡ 4000 275 - 1 15

k ≈ 0,0102  

Passo 3

(c) Agora fazer fazer algumas previsões sobre a população dos Estados Unidos baseadas no nosso modelo, tá beleza?

Pra 2100 :

P 110 = 4000 1 + 15   e - 0,0102   .     110 ≈ 679,76   m i l h õ e s   d e   p e s s o a s

Agora pra 2500 :

P 210 = 4000 1 + 15   e - 0,0102   .     210 ≈ 1448,58   m i l h õ e s   d e   p e s s o a s

Nuuu! É gente pra caramba!

Passo 4

(d) E quando será que a população vai ultrapassar 350 milhões de pessoas? A gente pode obter isso a partir do nosso modelo logístico também:

P t = 350 = 4000 1 + 15   e - 0,01 02   t

É só isolar o t na equação acima:

1 + 15   e - 0,0102   t = 4000 350

t = - 1 0,0102  ln ⁡ 4000 350 - 1 15 ≈ 35,64   a n o s   d e p o i s   d e   1990

Então, segundo o nosso modelo, a população ultrapassaria 350 milhões em 2026 , arredondando para o resultado para o inteiro mais próximo.

Resposta

(a) K = 4000

P t = 4000 1 + 15   e - k t

(b) k ≈ 0,0102

(c) 679,76   m i l h õ e s   d e   p e s s o a s

1448,58   m i l h õ e s   d e   p e s s o a s

(d) 2026

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