Enunciado

Dada f x = 1 + cos ⁡ x , mostra que f ( x ) é par e f ' ( x ) é ímpar. Usando uma ferramenta gráfica, esboçar o gráfico de f ( x ) e f ' ( x ) observando as simetrias.

Passo 1

Podemos identificar as funções pares como funções simétricas em relação ao eixo y – como se esse eixo fosse um espelho, e seus lados esquerdo e direito são iguais.

Pra essas funções também vale que f x = f ( - x ) .

Já as funções ímpares são o contrário: elas são antissimétricas em relação ao eixo y – ou seja, seus lados esquerdo e direito são simétricos, porém um de “cabeça pra baixo” em relação ao outro.

Pra essas funções, vai valer que f x = - f ( - x ) .

Passo 2

Pra f x = 1 + cos ⁡ x , temos o seguinte esboço de gráfico. Repare como ele é totalmente simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo y):

Passo 3

f ' ( x ) , que é a derivada de f x = 1 + cos ⁡ x , vamos ter que vale:

f ' x = d ( 1 ) d x + d ( cos ⁡ x ) d x

f ' x = 0 + ( - sin ⁡ x )

∴ f ' x = - sin ⁡ x

Para essa função, temos o seguinte esboço do gráfico. Repare que, em relação ao eixo y, passando pela origem, ele também é simétrico, só que um lado invertido em relação ao outro:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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