Enunciado

Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I - V I e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + v k

Passo 1

Galera, para identificarmos a superfície, a melhor maneira é analisar a equação não parametrizada. Olhando para r ( u , v ) , podemos dizer que

x = u cos ⁡ v

y = u sen ⁡ v

z = v

Vamos olhar as famílias de curva da grade. Com v constante, temos que x = u ⋅ c o n s t a n t e ,   y = u ⋅ c o n s t a n t e   e   z = c o n s t a n t e . Nesse caso, x e y parametrizam uma linha reta no plano z = v , que corta o eixo z .

Se fizermos u constante, temos que x = c o n s t a n t e ⋅ cos ⁡ v ,   y = c o n s t a n t e ⋅ sen ⁡ v   e   z = v . Nesse caso, a parametrização de x e y representa uma projeção circular no plano x y . Com z = v , cada curva da grade é uma hélice! Logo, a superfície é uma rampa espiral, que corresponde ao gráfico I V .

Resposta

Gráfico I V .

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Desenhe a imagem de σ u , v = u , v ,1 - u 2 - v 2 , com u 2 + v 2 ≤ 1 .