Enunciado

Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas.

f x ,   y = s e n x 2 + y 2

Passo 1

Galera, vamos lembrar do seguinte:

∇ f = f x x ,   y   i + f y x ,   y   j

Então, é só calcular as derivadas parciais de f = s e n x 2 + y 2 :

∂ f ∂ x = x cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

    ∂ f ∂ y = y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Ou seja,

∇ f = x cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2   i + y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2   j

Passo 2

Show! Agora perceba que cada componente dos vetores do campo vetorial gradiente é multiplicado pela função cosseno, que depende exatamente da distância de cada ponto até a origem. Ou seja, tanto as direções como a magnitude dos vetores vão se alterar de acordo com a distância até a origem, e isso ocorre em:

Resposta

I

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra um campo vetorial F → e duas curvas C 1 e C 2 . As integrais de linha de F → sobre C 1 e C 2 são positivas, negativas ou zero? Explique.
Faça com que F → seja o campo vetorial mostrado na figura.
Case as funções f com os desenhos de seus campos vetor gradiente. f x , y = x 2 + y 2
Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas. f x , y = x y
Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F x , y , z = j