Enunciado

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( 2 , 5,5 ) e ( - 6,3 , 1 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

O problema pede a equação do plano que está no meio dos pontos P 1 ( 2,5 , 5 ) e P 2 ( - 6,3 , 1 ) . Então daqui já podemos achar o ponto que pertence ao plano, pois o plano passa exatamente no ponto médio entre esses dois.

Mas como achamos o ponto médio? É só somar as coordenadas iguais e dividir por dois. Assim ó:

x m = x 1 + x 2 2 = 2 - 6 2 = - 2

Então a coordenada x do ponto médio é x m = 2 . Do mesmo modo vamos encontrar y   e   z :

y m = 5 + 3 2 = 4

z m = 5 + 1 2 = 3

Oba! Encontramos o ponto que pertence ao plano! P m = ( - 2,4 , 3 )

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos pensar um pouco. Se quisermos o plano que é equidistante àqueles pontos, então o plano passa bem no meio deles, certo?

O seguimento que une esses dois pontos não é perpendicular ao plano? É SIM! Então é daí que vamos calcular o vetor normal!

v → = P 2 - P 1 = P 1 P 2 → = - 6,3 , 1 - 2,5 , 5 = ( - 8 , - 2 , - 4 )

Passo 3

Já que temos o vetor diretor v → = - 8 , - 2 , - 4 = ( a , b , c ) e o ponto P m = x 0 , y 0 , z 0 = ( - 2,4 , 3 ) , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Agora é só substituir!

- 8 x + 2 - 2 y - 4 - 4 z - 3 = 0

- 8 x - 2 y - 4 z - 16 + 8 + 1 2 = 0

- 8 x - 2 y - 4 z + 4 = 0

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por - 2 :

4 x + y + 2 z - 2 = 0

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

4 x + y + 2 z - 2 = 0

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Determinar equações reduzidas na variável x da reta que passa pelo ponto A 3 , - 2,4 e é perpendicular ao plano π : x - 3 y + 2 z - 5 = 0 .
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:A projeção ortogonal de P sobre o plano π ;
Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r : 2 x = y = 3 z e paralela ao plano π : x - y - z + 2 = 0 .
Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s , nos casos: A 3 , - 2 , - 4 , π : 3 x - 2 y - 3 z + 5 = 0 , s : x = 2 + t , y = - 4 - 2 t
Dada a reta r : x = 3 + t , y = 1 - 2 t e z = - 1 + 2 t , determinar equações reduzidas das projeções de r sobre os planos x O y e x O z .