Enunciado

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Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas.

f x ,   y = x + y 2

Passo 1

Galera, vamos lembrar do seguinte:

∇ f = f x x ,   y   i + f y x ,   y   j

Então, é só calcular as derivadas parciais de f = x + y 2 :

∂ f ∂ x = 2 ( x + y )

    ∂ f ∂ y = 2 ( x + y )

Ou seja,

∇ f = 2 x + y   i + 2 ( x + y )   j

Passo 2

Show! Agora perceba que as duas componentes dos vetores vão ser iguais, de forma que só há uma direção possível para os vetores 45 ° , com dois sentidos possíveis (para cima e para a direita ou para baixo e para a esquerda). Isso ocorre em:

Resposta

I I

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Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = 1 2 i → + 1 2 j →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = y i → + 1 2 j →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = k →
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,   y )   =   i +   ( x   -   y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta b )   y   =   x   -   1  
Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas. F → x , y = x - 2 , x + 1
Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas. F → x , y = y , 1 / x
Determine o campo vetorial gradiente de f . f x ,   y = ln ⁡ x + 2 y
Trace o campo vetorial gradiente de f e o mapa de contorno de f . Explique como eles estão relacionados. f x ,   y = s e n   x + s e n   y
Se você dispõe de um SCA que trace campos vetoriais (o comando para fazê-lo no Maple é “fieldplot” e no Mathematica é “PlotVectorField”), use-o para traçar F x ,   y = ( y 2 - 2 x ...
Represente geometricamente o campo vetorial dado.e) F → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas. F → x , y = 1 , s e n   y