Enunciado

Faça um esboço da curva y = x n ( n um inteiro) para os cinco casos abaixo:

i) n = 0

ii) n > 0 ,   n   í m p a r

iii) n > 0 ,   n   p a r

iv) n < 0 ,   n   í m p a r

v) n < 0 ,   n   p a r

Então use este esboço para encontrar os seguintes limites.

lim x → ∞ ⁡ x n

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente fazer o esboço da curva

y = x n

Para diferentes condições de n , e depois usar esse esboço para determinar o limite

lim x → 0 + ⁡ x n

E a primeira coisa que deve chamar a nossa atenção aqui é que a nossa curva y = x n , assumirá características diferentes de acordo com os valores de n que escolhermos.

Por isso é que o enunciado lista as condições:

i) n = 0

ii) n > 0 ,   n   í m p a r

iii) n > 0 ,   n   p a r

iv) n < 0 ,   n   í m p a r

v) n < 0 ,   n   p a r

Bom, então vem comigo fazer essa análise.

Passo 2

Vamos começar com

i) n = 0

então nossa função será

y = x 0

E qualquer coisa elevada a zero é igual a 1 .

Então nossa função se torna:

y = 1

Que é uma função constante de altura 1 . E seu esboço será:

Passo 3

Agora vamos analisar a condição

ii) n > 0 ,   n   í m p a r

Vamos supor n = 3 , n = 5 e n = 7 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função ímpar, ou seja

f - x = - f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ele crescerá, fazendo com que a curva fique mais próxima do eixo y .

Show.

Passo 4

Vamos pra próxima condição.

iii) n > 0 ,   n   p a r

Vamos supor n = 2 , n = 4 e n = 6 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função par, ou seja

f - x = f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ele crescerá, fazendo com que a curva fique mais próxima do eixo y .

Passo 5

Vamos agora analisar

iv) n < 0 ,   n   í m p a r

Vamos supor n = - 1 , n = - 3 e n = - 5 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função ímpar, ou seja

f - x = - f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ela decrescerá, fazendo com que a curva fique mais afastada do eixo y .

Passo 6

Vamos agora analisar

v) n < 0 ,   n   p a r

Vamos supor n = - 2 , n = - 4 e n = - 5 , para entender o comportamento da função para esse caso.

Perceba que a função tem uma característica de função par, ou seja

f - x = f ( x )

e quanto maior for o expoente, mais rápido ela decrescerá, fazendo com que a curva fique mais afastada do eixo y .

Passo 7

Bom pessoal, agora vamos plotar as curvas pedidas em um gráfico único para entender como elas se relacionam. Podemos pegar um valor genérico que atenda os itens, apenas para visualizar o comportamento da função.

Agora, para encontrar o limite pedido, basta vermos para que valor cada uma das curvas estão se aproximando no ponto pedido. Assim, podemos ver que

lim x → ∞ ⁡ x n

(i) 1

(ii)

(iii)

(iv) 0

(v) 0

Resposta

(i) 1

(ii)

(iii)

(iv) 0

(v) 0

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Calcule o limite.underset(y - 6^-)(lim) (y + 6)/(y^2 - 36)
Calcule o limite.underset(y - 6^+)(lim) (y + 6)/(y^2 - 36)
Calcule o limite.underset(x - + oo)(lim) (sqrt(2 x^2 - 7))/(x + 3)