Faça um esboço do gráfico da função dada.

g(x) = arctan(2x)

Passo 1

A questão pede para esboçarmos o gráfico da função g ( x ) = arctan ⁡ 2 x . Para esboçarmos gráficos de funções trigonométricas inversas, uma dica muito importante é ver o comportamento da função trigonométrica correspondente.

Para isso, vamos inverter a relação y = arctan ⁡ 2 x :

2 x = tan ⁡ y ⇒ x = 1 2 tan ⁡ y

Assim, g é a função inversa de h , isto é, g = h - 1 , onde

h x = 1 2 tan ⁡ x

Vamos esboçar primeiro o gráfico de h :

Para que h tenha inversa ela deve ser injetora, por isso restringimos seu domínio para o intervalo - π 2 < x < π 2 . Sua imagem vai de - ∞ até + ∞ .

Passo 2

Como g é o inverso de h , seu domínio vai de - ∞ até + ∞ , porém sua imagem é restrita ao intervalo - π 2 < y < π 2 . Para traçar o gráfico de g , basta lembrar que o gráfico de uma função e sua inversa são simétricos com relação a reta y = x . Assim, o gráfico de g será

Resposta

Esboço de gráfico.

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