Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função dada.

g x = arctan ⁡ 2 x

Passo 1

A questão pede para esboçarmos o gráfico da função g ( x ) = arctan ⁡ 2 x . Para esboçarmos gráficos de funções trigonométricas inversas, uma dica muito importante é ver o comportamento da função trigonométrica correspondente.

Para isso, vamos inverter a relação y = arctan ⁡ 2 x :

2 x = tan ⁡ y ⇒ x = 1 2 tan ⁡ y

Assim, g é a função inversa de h , isto é, g = h - 1 , onde

h x = 1 2 tan ⁡ x

Vamos esboçar primeiro o gráfico de h :

Para que h tenha inversa ela deve ser injetora, por isso restringimos seu domínio para o intervalo - π 2 < x < π 2 . Sua imagem vai de - ∞ até + ∞ .

Passo 2

Como g é o inverso de h , seu domínio vai de - ∞ até + ∞ , porém sua imagem é restrita ao intervalo - π 2 < y < π 2 . Para traçar o gráfico de g , basta lembrar que o gráfico de uma função e sua inversa são simétricos com relação a reta y = x . Assim, o gráfico de g será

Resposta

Esboço de gráfico.

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Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas a )f x = 4 x , g x = 1 4 x b )f x = 3 x + 1 , g x = 3 x - 1 c )f x = x - 2 3 , g x = x 3 + 2 d )f x = x 4 , g x = x 4
Em cada parte, use o texto da reta horizontal para determinar se a função f é injetora: a )f x = 32 + x b )f x = x - 1 c )f x = x d )f x = x 3 e )f x = x 2 - 2 x + 2 f )f x = sen ⁡ x
Encontre a fórmula para f - 1 x 11 )f x = 3 x 3 - 5
Encontre a fórmula para f - 1 x 10 )f x = x + 1 x - 1
Encontre a fórmula para f - 1 x 9 )f x = 7 x - 6