Enunciado

Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas

a ) f (x) = 4 x , g (x) = (1)/(4) x

b ) f (x) = 3 x + 1 , g (x) = 3 x - 1

c ) f (x) = root(3)(x - 2) , g (x) = x^3 + 2

d ) f (x) = x^4 , g (x) = root(4)(x)

Passo 1

Fala povo, tudo tranquilo? Bora falar de funções inversas. Pra gente inverter uma função, temos esses passos:

  • y = f (x)
  • f (y) = x
  • f^(- 1) (x) = y
  • Passo 1: Escrever y como uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que ele passe a ser escrito como uma função de y
  • Passo 3: Trocar x , y de lado. Sua nova função de x será a função inversa

Vamos fazer isso então com todas as letras primeiro e depois checar se elas batem com g (x) , beleza?

Passo 2

Letra a) f (x) = 4 x

Seja:

y = 4 x

Isolando x , vamos ter:

x = (y)/(4)

Trocando as variáveis de lugar:

y = (x)/(4)

f^(- 1) (x) = (x)/(4)

Letra b) f (x) = 3 x + 1

Seja:

y = 3 x + 1

Isolando x , vamos ter:

3 x = y - 1

x = (y - 1)/(3)

Trocando as variáveis de lugar:

y = (x - 1)/(3)

f^(- 1) (x) = (x - 1)/(3)

Letra c) f (x) = root(3)(x - 2)

Seja:

y = root(3)(x - 2)

Isolando x , vamos ter:

y = (x - 2)^((1)/(3))

(y)^3 = ((x - 2)^((1)/(3)))^3

y^3 = (x - 2)^((1)/(3) * 3) = (x - 2)^1 = x - 2

y^3 + 2 = x

Trocando as variáveis de lugar:

x^3 + 2 = y

f^(- 1) (x) = x^3 + 2

Letra d) f (x) = x^4

Seja:

y = x^4

Isolando x , vamos ter:

+- root(4)(y) = root(4)(x^4)

x = +- root(4)(y)

Trocando as variáveis de lugar:

y = +- root(4)(x)

f^(- 1) (x) = +- root(4)(x)

Passo 3

Agora vamos ver em quais casos a inversa ta batendo. Do nosso enunciado:

a ) f^(- 1) (x) = (x)/(4) , g (x) = (1)/(4) x

b ) f^(- 1) (x) = (x - 1)/(3) , g (x) = 3 x - 1

c ) f^(- 1) (x) = x^3 + 2 , g (x) = x^3 + 2

d ) f^(- 1) (x) = +- root(4)(x) , g (x) = root(4)(x)

Pô galera, f^(- 1) (x) = g (x) só nas letras a , c ! O caso d é curioso, porque quando fazemos nosso passo a passo, acabamos nos deparando com um f^(- 1) (x) que só funciona se juntarmos dois pedaços: o positivo e o negativo de root(4)(x) . Portanto considerar somente o pedaço positivo não nos dá a inversa de f !

Fechada a questão! Bora pra próxima?

Resposta

A função g (x) apresentada só é inversa da f (x) apresentada nas letras a e c .

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Dado que x = c o s - 1 ( 1 3 ) , ache o valor exato de cada uma das funções:8. c) c o t g( x )
Nos Exercícios de 1 a 6, determine o valor funcional exato.6. d) s e c - 1 ( - 1 )
Dado que x = s e n - 1 ( 1 3 ) , ache o valor exato de cada uma das funções:7. a) c o s( x )
Dado que x = s e n - 1 ( 1 3 ) , ache o valor exato de cada uma das funções:7. b) t g( x )
Dado que y = t g - 1 ( - 2 ) , ache o valor exato de cada uma das funções:11. e) c o s e c( y )