Enunciado

Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos.

a)   f x = 1 x ;   - 2 ,   - 1

b) f x = x 3 - x 4 ;   - 1 , 3 2

c) f x = x - tan ⁡ x ;   - π 4 , π 4

d) f ( x )   =   -   x 2   -   2 x ;   [ 1 ,   3 ]

Passo 1

(a)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

  f ' ( x ) = 1 x ' = - 1 x 2

f ' x =   - 1 x 2 =   0               ⇒     a c o n t e c e   p r a   v a l o r e s   d e   x   m u i t o   g r a n d e s   e m   m ó d u l o

Então já que x não atinge esses valores por causa do intervalo em que está, vamos olhar as extremidades:

f - 1 = 1 - 1 = - 1

f - 2 = 1 - 2 =   - 1 2

No intervalo:

M =   - 1 2   p a r a   x = - 2

m =   - 1   p a r a   x = - 1

Passo 2

(b)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

f ' x = x 3 - x 4 ' = 3 x 2 - 4 x 3 = x 2 ( 3 - 4 x )

f ' x =   x 2 3 - 4 x =   0               ⇒     x = 0     o u   x = 3 4  

Achando f 0 e f 3 4

f x = x 3 - x 4           ⇒ x = 0           f 0 =   0 3 - 0 4 ∴           f 0 = 0

E

f x = x 3 - x 4             ⇒ x = 3 / 4           f 3 4 =   3 4 3 - 3 4 4 =     3 4 3 1 - 3 4

    f 3 4 =   3 4 3 1 4

∴               f 3 4 = 3 3 4 4

Vamos olhar pros extremos agora, ou seja, f ( - 1 ) e f 3 2

f x = x 3 - x 4           ⇒ x = - 1           f - 1 =   - 1 3 - - 1 4 ∴           f - 1 = - 2

E

f x = x 3 - x 4             ⇒ x = 3 / 2           f 3 2 =   3 2 3 - 3 2 4 =     3 2 3 1 - 3 2

    f 3 2 =   3 2 3 - 1 2

∴               f 3 2 = - 3 3 2 4 = - 3 3 4 2

Então o mínimo estará em um dos extremos o e máximo estará em um dos pontos críticos:

m = - 2     p a r a   x = - 1

M = 3 3 4 4     p a r a   x = 3 4

Passo 3

(c)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

f ' x = x - tan ⁡ x ' = 1 - sec ⁡ x 2

Igualando a zero:

f ' x = 1 - sec ⁡ x 2 = 0                   ⇒     sec ⁡ x 2 = 1

sec ⁡ x = ± 1               ∴             x = k π ,   k   i n t e i r o

Como x está no intervalo - π 4 , π 4 , então x = 0

Achando f 0

f x = x - tan ⁡ x           ⇒ x = 0           f 0 =   0 - tan ⁡ 0 ∴           f 0 = 0

Agora olhando para as extremidades:

f x = x - tan ⁡ x           ⇒ x = π 4           f π 4 =   π 4 - tan ⁡ π 4 ∴           f π 4 = π 4 - 1

f x = x - tan ⁡ x           ⇒ x =   -   π 4           f - π 4 =   - π 4 - tan - ⁡ π 4 ∴           f - π 4 = - π 4 + 1

Então achamos que o máximo acontece em um dos extremos do intervalo, e o mínimo acontece no outro extremo:

M = 1 - π 4     p a r a   x = - π 4

m = π 4 - 1     p a r a   x = π 4

Passo 4

(d)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

  f ' x = -   x 2   -   2 x '

Mas antes vamos lembrar que:

f ( x ) = - x x - 2   ,       x ≤ 0   o u   x ≥ 2 x x - 2 ,     0 ≤ x ≤ 2  

Caso     0 ≤ x ≤ 2

f ' x = x 2 - 2 x ' = 2 x - 2

f ' x = 2 x - 2 = 0                   ⇒         x = 1

Caso x ≤ 0   o u   x ≥ 2

f ' x = - x 2 - 2 x   ' = - 2 x + 2

f ' x = - 2 x + 2 = 0                   ⇒         x = 1

Achando f 1 , como 0 ≤ x ≤ 2

f x = x 2 - 2 x                 ⇒ x = 1             f 1 = 1 2 - 2 =   - 1

Olhando agora pra outra extremidade, ou seja, f ( 3 ) :

f x = - x 2 - 2 x               ⇒ x = 3             f 3 = - 3 2 - 2 3 =   - 3

Mas lembre-se que o f 2 = 0

Então teremos mínimo em uma de suas extremidades e o máximo no ponto crítico:

m = - 3     p a r a   x = 3

M = 0     p a r a   x = 2

Resposta

(a) M =   - 1 2   p a r a   x = - 2 ; m =   - 1   p a r a   x = - 1

(b) M = 3 3 4 4     p a r a   x = 3 4   ; m = - 2     p a r a   x = - 1

(c) M = 1 - π 4   p a r a   x = - π 4 ; m = π 4 - 1     p a r a   x = π 4

(d) M = 0     p a r a   x = 2 ; m = - 3     p a r a   x = 3

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