Enunciado

Faça esboços, no mesmo conjunto de eixos, dos gráficos de de y = log 10 ⁡ x e y = ln ⁡ x .

Passo 1

O primeiro passo para o esboço de um gráfico é analisar seu domínio e imagem. Ambas as funções estão apenas definidas para x ∈ ( 0 , + ∞ ) e tem como imagem todo o conjunto dos reais.

Passo 2

O segundo passo é observar as assíntotas e quando as funções cruzam os eixos cartesianos. Podemos notar facilmente que:

lim x → 0 - ⁡ log 10 ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ log 10 ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x = ∞

Temos então para as duas funções uma assíntota em x = 0 . Além disso:

log 10 ⁡ 1 = ln ⁡ 1 = 0

Então ambas as funções vem de números muito baixos próximo de x = 0 , cruzam o eixo x em x = 1 e vão para o infinito quando x vai para o infinito. Agora basta analisarmos e compararmos os valores e como é o crescimento de cada uma.

Passo 3

Sabemos que log 10 ⁡ x = ln ⁡ x / ln ⁡ 10 . Para valores positivos de ln ⁡ x ,   ou seja, para x > 1 , teremos log 10 ⁡ x < ln ⁡ x . Para valores negativos de ln ⁡ x , ou seja, para x ∈ ( 0,1 ) , teremos log 10 ⁡ x > ln ⁡ x .

Derivando as duas funções:

d d x log 10 ⁡ x = d d x ln ⁡ x ln ⁡ 10 = 1 x ln ⁡ 10

d d x ln ⁡ x = 1 x

Podemos notar que para qualque valor de x > 0 vamos ter o crescimento de y = log 10 ⁡ x menor que o crescimento de y = ln ⁡ x . Agora que sabemos o comportamento das duas funções e conseguimos compará-las podemos esboçar os gráficos.

Resposta

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