Enunciado

  1. Determine uma equação para a reta que seja tangente à curva y = x 3 - 6 x 2 + 5 x na origem.
  2. Esboce a curva e a tangente em um único gráfico. A tangente intercepta a curva em outro ponto. Use os comandos “Zoom” e “Trace” para estimar as coordenadas desse ponto.
  3. Confirme suas estimativas das coordenadas do segundo ponto de interseção resolvendo as equações da curva e da tangente simultaneamente (tecla “Solver”).

Passo 1

Para resolvermos a letra a.) precisamos encontrar a tangente à curva y no ponto ( - 1,0 ) . Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular da tangente a partir da derivada de y :

y ' = m = x 3 - 6 x 2 + 5 x '

m = 3 x 3 - 1 - 6 x 2 - 1 + 5 x 1 - 1

m = 3 x 2 - 6 x + 5

Lembrando da equação da tangente:

y 2 - f a = m x - a

y 2 - 0 = 3 0 2 - 6 ∙ 0 + 5 x - 0

y 2 = 5 x - 0

y 2 = 5 x

Passo 2

O gráfico com a tangente e a curva y podem ser vistos na figura abaixo:

A tangente passa por outro ponto da curva y . Olhando no gráfico, o ponto interceptado é 6 , 30 .

Passo 3

Já na letra c.), a questão pede para estimarmos o ponto que a tangente intercepta a curva f ( x ) além do ponto de tangência. Assim, iremos igualar as duas funções:

x 3 - 6 x 2 + 5 x = 5 x

x 3 - 6 x 2 = 0

x 2 x - 6 = 0

x 1 = 0

x 2 = 6

Agora precisamos encontrar o valor de y :

y 1 = 0 3 - 6 ∙ 0 2 + 5 ∙ 0 = 0

y 2 = 6 3 - 6 ∙ 6 2 + 5 ∙ 6 = 216 - 216 + 30 = 30

Pronto!!!

Resposta

a . )   y = 5 x ; 6 , 30

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule f ' x . f x = x 2 ln ⁡ x + 2 e x
Seja f x = x 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x . Calcule: f ' x f ' 0 f ' 3 a f ' x 2
46. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de sec ⁡ π 6 + h - sec ⁡ π 6 h Quando hé0,1 ;0,01 ;0,001 ; 0,0001 ; 0,00001e é hé - 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 ;- 0,0001 ; é - 0,00
44. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de c o s 5 π 6 + h - c o s 5 π 6 h Quando hé1 ;0,5 ;0,1 ;0,01 ;0,001 ;ehé- 1 ;- 0,5 ;- 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 é é . A que o quo
45. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de t g π 4 + h - t g π 4 h Quando hé0,1 ;0,01 ;0,001 ; 0,0001 ; 0,00001e é hé - 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 ;- 0,0001 ; é - 0,00001