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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.1 - Ex. 57

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Faça o exercício 56 se o circuito tiver uma força eletromotriz de 120 sen ⁡ 120 π t volts e um resistor de 100 ohms; as demais condições são as mesmas.

Passo 1

A equação de um circuito elétrico, de força eletromotriz V , com um resistor de resistência R e um indutor de indutância L conectados em série é a seguinte:

V = L d i d t + R i

Temos então:

120 sen ⁡ 120 π t = 0,1 d i d t + 100 i ⇒ d i d t + 1000 i = 1200 sen ⁡ 120 π t

Devemos resolver essa equação diferencial para encontrar i ( t ) .

Passo 2

A equação diferencial é de primeira ordem, pois está na forma

d i d t + P t i = Q ( t )

Com P t = 1000 e Q t = 1200 sen ⁡ 120 π t . O fator integrante será e ∫ P t d t = e ∫ 1000 d t = e 1000 t . Multiplicando os termos da equação por e 100 t , temos:

e 1000 t d i d t + 1000 e 1000 t i = 1200 e 100 t sen ⁡ 120 π t

Passo 3

Agora, como sabemos que u v ' = u ' v + u v ' , podemos desenvolver a equação da seguinte forma:

e 1000 t d i d t + 1000 e 1000 t i = e 1000 t d i d t + d e 1000 t d t i = d e 1000 t ⋅ i d t = 1200 e 1000 t sen ⁡ 120 π t  

Então podemos integrar:

∫ d ( e 1000 t ⋅ i ) = ∫ 1200 e 1000 t sen ⁡ 120 π t d t ⇒ i = 1200 e - 1000 t ∫ e 1000 t sen ⁡ 120 π t d t

Passo 4

Para calcular essa integral, usaremos agora uma fórmula muito útil:

∫ e a t sen ⁡ n t = e a t a 2 + n 2 a sen ⁡ n t - n cos ⁡ n t + C

Sendo a = 1000 e n = 120 π , podemos calcular:

∫ e 1000 t sen ⁡ 120 π t d t = e 1000 t 1000 2 + ( 120 π ) 2 1000 sen ⁡ 120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t + C

= e 1000 t 100000 + 1440 π 100 sen ⁡ 120 π t - 12 π cos ⁡ 120 π t + C

Então achamos o valor de i em função de t :

i t = 1200 e - 1000 t ⋅ e 1000 t 100000 + 1440 π 100 sen ⁡ 120 π t - 12 π cos ⁡ 120 π t + C

= 30 625 + 9 π 25 sen ⁡ 120 π t - 3 π cos ⁡ 120 π t + C

Do enunciado, i 0 = 0 :

30 625 + 9 π 25 sen ⁡ 0 - 3 π cos ⁡ 0 + C = 0 ⇒ C = 90 π 625 + 9 π

⇒ i t = 30 625 + 9 π 3 π + 25 sen ⁡ 120 π t - 3 π cos ⁡ 120 π t

Resposta

i t = 30 625 + 9 π 3 π + 25 sen ⁡ 120 π t - 3 π cos ⁡ 120 π t

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