Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 1.3 - Ex. 19

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desse livro

Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.

y = 1 2 ( x 2 + 8 x )

Passo 1

No livro do Stewart, temos o seguinte gráfico:

Esse é o gráfico de y = x 2 , o qual será a nossa base para as transformações.

Antes de dar uma mexida no gráfico, temos que mudar a nossa função para que apareça somente x 2 e não x . Para isso, devemos fazer aparecer um quadrado perfeito na equação, aí a gente pode escrever ele na forma de um produto notável “quadrado da soma”.

Ficou meio confuso? Dá uma olhada em como a gente faz, vou pegar ( x 2 + 8 )   e comparar com a fórmula desse produto notável:

a + b 2 = a 2 + 2   .   a   .   b + b 2

a + b 2 = x 2 + 8 x   + b 2

a + b 2 = x 2 + 2   .   4   .   x   + b 2

Se compararmos a primeira expressão com a última, vemos que b = 4 . Nosso produto notável vai ficar assim então:

x + 4 2 = x 2 + 8 x + 16

Passo 2

Agora nós temos que reescrever a nossa função:

y = 1 2 ( x 2 + 8 x + 16 - 16 )

Temos que adicionar o + 16 junto com o - 16 para não aterarmos a equação (isso é o mesmo que somar com 0 ). Olha o que podemos fazer agora:

y = 1 2 [ x + 4 2 - 16 ]

Pronto! Usamos o que encontramos no passo anterior e escrevemos a nossa função de uma forma que podemos desenhar o gráfico muuuito mais facilmente!

Passo 3

Primeiro, vamos pegar o gráfico e deslocar ele 4 unidades para a esquerda (sempre mechemos na horizontal quando temos um número somando coladinho do x !). Assim, teremos o gráfico de y = x + 4 2 :

Passo 4

O próximo passo é deslocar o gráfico 16 unidades para baixo, pois sempre mexemos na vertical quando somamos um número com a expressão toda, sem ficar bem do lado do x , beleza? Assim a gente chega no gráfico de y = x + 4 2 - 16 :

Passo 5

Ta acabando! Falta só o gráfico de y = 1 2 [ x + 4 2 - 16 ] . Tudo o que precisamos fazer agora é pegar o gráfico anterior e comprimir ele na vertical por um fator 1 2 . Compressão e expansão na vertical rola quando multiplicamos tooooda a expressão por um número. Saca só:

Uhul! Chegamos no noss resultado! Essa aqui já era ;)

Resposta

O gráfico de y = 1 2 ( x 2 + 8 ) é o seguinte:

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