Enunciado

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = x - cos ⁡ x

Passo 1

Vamos começar calculando os limites:

lim x → + ∞ ⁡ x - cos ⁡ x ,       lim x → - ∞ ⁡ x - cos ⁡ x

Podemos usar o teorema do confronto. Sabemos que:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

x - 1 ≤ x - cos ⁡ x ≤ x + 1

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 ≤ l i m x → + ∞ x - cos ⁡ x ≤ l i m x → + ∞ x + 1

+ ∞ ≤ l i m x → + ∞ x - cos ⁡ x ≤ + ∞ ∴ l i m x → + ∞ x - cos ⁡ x = + ∞

Fazendo o mesmo para o outro limite:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 ≤ l i m x → - ∞ x - cos ⁡ x ≤ l i m x → - ∞ x + 1

- ∞ ≤ l i m x → - ∞ x - cos ⁡ x ≤ - ∞ ∴ l i m x → - ∞ x - cos ⁡ x = - ∞

Com isso a gente vê também que não há assíntotas horizontais.

Passo 2

Para localizar os extremos relativos, precisamos calcular os valores de x quando f ' x = 0

f x = x - cos ⁡ x

f ' x = 1 + s e n   x

1 + s e n   x = 0 ∴ x = 2 n π + π 2 ,     n = 0 , ± 1 , ± 2

Vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar esses pontos:

f ' ' x = cos ⁡ x

f ' ' 2 n π + π 2 = cos ⁡ 2 n π + π 2 = 0

Ih deu 0 . Vamos olhar o sinal da derivada antes e depois do ponto:

f ' 2 n π = 1 ,   f ' 2 n π + π = 1

Como a derivada é positiva antes e depois do ponto, esse não é um ponto de máximo nem de mínimo.

Logo, não temos extremos relativos.

Passo 3

Os pontos de inflexão ficam onde f ' ' x = 0 . Vamos achar todos eles:

cos ⁡ x = 0

Assim:

x = n π + π 2 ,     n = 0 , ± 1 , ± 2

Esses vão ser nossos ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos verificar os pontos de descontinuidade de f para descobrir se existem assíntotas verticais. Só repara uma coisa:

f x = x - cos ⁡ x

Nossa função é uma subtração entre duas funções contínuas. Pelas propriedades de continuidade, ela também será uma função contínua.

Por isso, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Agora é fazer o gráfico com tudo isso que a gente achou:

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - cos ⁡ x = + ∞ ,       lim x → - ∞ ⁡ x - cos ⁡ x = - ∞

Não há extremos relativos

Pontos de inflexão quando x = n π + π 2 ,     n = 0 , ± 1 , ± 2

Não há assíntotas

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55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0 Com qualquer número real positivo r . N
39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.44. tan ⁡ x ,0 ≤ xπ 2
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