Calcule a Integral.

∫ x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + x x 2 + 6 x + 10 d x

Passo 1

Antes de começar a solucionar a integral pro frações parciais, podemos manipular a fómula dada:

∫ x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + x x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ x 2 ( x 2 + 6 x + 10 ) + x x 2 + 6 x + 10 d x

Então:

∫ x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + x x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ x 2 + x x 2 + 6 x + 10 d x

Logo:

∫ x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + x x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ x 2 d x + ∫ x x + 3 2 + 1 d x

Se u = x + 3 , d u = d x e portant, x = u - 3 :

∫ x x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ u - 3 u 2 + 1 d u

Podemos separar em: ∫ x x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ u u 2 + 1 d u - ∫ 3 u 2 + 1 d u

∫ x x 2 + 6 x + 10 d x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 - 3 tg - 1 ⁡ u + C

Substituindo u :

∫ x x 2 + 6 x + 10 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 6 x + 10 - 3 tg - 1 ⁡ ( x + 3 ) + C

Resposta

∫ x x 2 + 6 x + 10 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 6 x + 10 - 3 tg - 1 ⁡ ( x + 3 ) + C

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