Faça o gráfico da curva y = ln(sen(x))

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   ln ⁡ s e n ( x )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde somente ao conjunto dos números Reais positivos , isso porque a função   l n ⁡ ( x ) não está definida para números negativos.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está limitado à x > 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso, é importante lembrar que ln ⁡ 1 = 0 . Dessa maneira para encontramos as raízes fazermos com que o s e n ( x ) = 1 , que este se trata do argumento da função

Com isso ,percebemos que teremos várias raízes para   f x ,pois como s e n ( x ) é uma função periódica há inúmeros valores que fazem com que o seno atinja seu máximo , ou seja ,   s e n ( x ) = 1 . Alguns exemplos são:

f π 2 = ln ⁡ s e n π 2 = l n ⁡ ( 1 ) = 0

f - 3 π 2 = ln ⁡ s e n - 3 π 2 = l n ⁡ ( 1 ) = 0

Entre vários outros .Desse modo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x várias vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da cadeia teremos,

f ' x = 1 s e n x .   cos ⁡ x

f ' x = c o s ⁡ (   x ) s e n x

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente,

f ' ' x = - sen ⁡   x .   sen ⁡ x - cos ⁡ x . ( c o s ⁡ ( x ) ) s e n 2 x

= - sen ⁡ x 2 - cos ⁡ x 2 s e n 2 x

= - [ sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 ]   s e n 2 x

Usando a identidade trigonométrica fundamental temos,

= - 1   s e n 2 x

Passo 3

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = c o s ⁡ (   x ) s e n x = 0

⇒ cos ⁡ x = 0

Sabemos que o c o s ⁡ ( x ) se anula em x = k π 2 ,   onde k é um inteiro ímpar.

Sendo assim temos vários candidatos à pontos críticos, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( ( k - 1 ) π , k π 2 )     x = k π 2   , f ' ( x ) assume valores positivos ( f ( x ) cresce). E para valores dentro do intervalo ( k π 2 , k π )     x = k π 2   , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = k π 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( k - 1 ) π , k π ) .

Passo 4

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 1   s e n 2 x = 0

Porém não há valor que satisfaça a igualdade acima, sendo assim, f ' ' ( x ) não possui pontos de inflexão. Consequentemente f x não possui mudança de concavidade.

Passo 5

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ± ∞ ⁡ f x = lim x → ±  ∞ ⁡ f x = x e - x 2 = 0

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

Um fato importante a ser lembrado é a respeito da função   y = l n ⁡ ( x ) , é que o ln ⁡ 0 não é definido, ou seja, é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, em relação as assíntotas verticais, perceba que como o argumento de f ( x ) é a função s e n ( x ) , que é uma função que se anula em valores que sejam múltiplos de π ,   isto é, k π   onde k   é inteiro Dessa maneira, se calculássemos o limite em cada um desses pontos veremos que :

lim x → kπ ⁡ f x = l i m x → k π ln ⁡ s e n ( x ) = ln ⁡ s e n ( k π ) = ln ⁡ 0 = - ∞

Logo,   f x possui assíntotas verticais em x = k π onde k é um número inteiro.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados