Enunciado

Use um recurso gráfico computacional para determinar o número de vezes que as curvas se intersectam; aplique, então, o Método de Newton, quando necessário, para aproximar a coordenada x de todas as interesecções.

y = s e n ⁡ ( x ) e y = x 3 - 2 x 2 + 1

Passo 1

Bom, então queremos achar quando as curvas se intersectam, ou seja, quando:

s e n ⁡ ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 1

Achando as soluções dessa equação, achando os valores de x onde as curvas se encontram.

Passo 2

Se temos:

s e n ⁡ ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 1

Podemos arrumar esse cara:

sen ⁡ x - x 3 + 2 x 2 - 1 = 0

Show, então queremos resolver essa equação. Podemos usar o Método de Newton para isso, em que:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Passo 3

Agora, para achar o nosso primeiro “chute” para o valor de x , vamos olhar para o gráfico dessa equação e ver onde estão as raízes. O gráfico de s e n ⁡ ( x ) - x 3 + 2 x 2 - 1 é:

Olhando bem, podemos perceber que uma raiz está entre - 0 , 8 e - 0 , 6 (mais perto de - 0 , 8 ), outra entre 0,4 e 0,6 (mais perto de 0 , 6 ) e a outra entre 1,8 e 2 (mais perto de 2 ).

Passo 4

Primeiro, vamos ver se x = - 0,8 é solução:

sen ⁡ - 0,8 - ( - 0,8 ) 3 + 2 - 0,8 2 - 1 = 0,074643909

Não é exatamente a raiz, mas chega bem perto. Usando Newton, vamos ver para onde a solução converge, usando x 1 = - 0,8 e sabendo que f x = s e n ⁡ ( x ) - x 3 + 2 x 2 - 1 e f ' x = cos ⁡ x - 3 x 2 + 4 x :

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1 = - 0,8 - f - 0,8 f ' - 0,8

x 2 = - 0,8 - 0,074643909 - 4,4232932 91 = - 0,783124811

Continuando com o processo, usando uma calculadora:

x 3 = - 0,782808233

x 4 = - 0,782808 123

x 5 = - 0,782808123

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = - 0,782808123 é uma aproximação para o primeiro valor.

Passo 5

Agora, vamos ver se x = 0,6 é solução:

sen ⁡ 0,6 - 0,6 3 + 2 0,6 2 - 1 = 0,068642473

Não é exatamente a raiz, mas chega bem perto. Usando Newton, vamos ver para onde a solução converge, usando x 1 = 0,6 e sabendo que f x = s e n ⁡ ( x ) - x 3 + 2 x 2 - 1 e f ' x = cos ⁡ x - 3 x 2 + 4 x :

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1 = 0,6 - f 0,6 f ' 0,6

x 2 = 0,6 - 0,068642473 2,145335615 = 0,568003853

Continuando com o processo:

x 3 = 0,5680 25738

x 4 = 0,568025738

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = 0,568025738 é uma aproximação para o segundo valor.

Passo 6

Agora, vamos ver se x = 2 é solução:

sen ⁡ 2 - 2 3 + 2 2 2 - 1 = - 0,090702573

Não é exatamente a raiz, mas chega bem perto. Usando Newton, vamos ver para onde a solução converge, usando x 1 = 2 e sabendo que f x = s e n ⁡ ( x ) - x 3 + 2 x 2 - 1 e f ' x = cos ⁡ x - 3 x 2 + 4 x :

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1 = 2 - f 2 f ' 2

x 2 = 2 - - 0,090702573 - 4,416146836 = 1,979461151

Continuando com o processo:

x 3 = 1,979 019264

x 4 = 1,979019 061

x 5 = 1,979019061

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = 1,979019061 é uma aproximação para o segundo valor.

Então, nossas respostas serão:

x = - 0,782808123 ;

x = 0,568025738 ;

x = 1,979019061 .

Resposta

x = - 0,782808123 , x = 0,568025738 e x = 1,979019061 .

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