Enunciado

Use um recurso gráfico computacional para determinar o número de vezes que as curvas se intersectam; aplique, então, o Método de Newton, quando necessário, para aproximar a coordenada x de todas as interesecções.

y = x 2 e y = 2 x + 1

Passo 1

Bom, então queremos achar quando as curvas se intersectam, ou seja, quando:

x 2 = 2 x + 1

Achando as soluções dessa equação, achando os valores de x onde as curvas se encontram.

Passo 2

Se temos:

x 2 = 2 x + 1

Podemos arrumar esse cara:

x 4 = 2 x + 1

x 4 - 2 x - 1 = 0

Show, então queremos resolver essa equação. Podemos usar o Método de Newton para isso, em que:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Passo 3

Agora, para achar o nosso primeiro “chute” para o valor de x , vamos olhar para o gráfico dessa equação e ver onde estão as raízes. O gráfico de x 4 - 2 x - 1 é:

Olhando bem, podemos perceber que uma raiz está entre - 0,5 e 0 (mais perto de - 0,5 ) e a outra entre 1 e 1,5 (mais perto de 1,4 ) .

Passo 4

Primeiro, vamos ver se x = 1,4 é solução:

1,4 4 - 2 1,4 - 1 = 0,0416

Não é exatamente a raiz, mas chega bem perto. Usando Newton, vamos ver para onde a solução converge, usando x 1 = 1,4 e sabendo que f x = x 4 - 2 x - 1 e f ' x = 4 x 3 - 2 :

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1 = 1,4 - f 1,4 f ' 1,4

x 2 = 1,4 - 0,0416 8,976 = 1,395365418

Continuando com o processo, usando uma calculadora:

x 3 = 1,395336995

x 4 = 1,395336994

x 5 = 1,395336994

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = 1,395336994 é uma aproximação para o primeiro valor.

Passo 5

Agora, vamos ver se x = - 0,5 é solução:

( - 0,5 ) 4 - 2 - 0,5 - 1 = 0,0625

Não é exatamente a raiz, mas chega bem perto. Usando Newton, vamos ver para onde a solução converge, usando x 1 = - 0,5 e sabendo que f x = x 4 - 2 x - 1 e f ' x = 4 x 3 - 2 :

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1 = - 0,5 - f - 0,5 f ' - 0,5

x 2 = - 0,5 - 0,0625 - 2,5 = - 0,475

Continuando com o processo:

x 3 = - 0,474626695

x 4 = - 0,474626618

x 5 = - 0,474626618

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = - 0,474626618 é uma aproximação para o segundo valor.

Então, nossas respostas serão:

x = - 0,474626618

E

x = 1,395336994

Resposta

x = - 0,474626618 e x = 1,395336994 .

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Esboce o gráfico. f x = 2 x + 1 + e - x
Esboce o gráfico. y = x 3 - x + 1 x 2
Esboce o gráfico. y = x 2 x + 1
Esboce o gráfico. f x = x 4 - 2 x 2
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em