Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x e^(- x^2)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x e^(- x^2)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0 , temos que f (x) = 0 , ou seja,

f (0) = 0 . e^(- 0^2) = 0 e^0 = 0.1 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do produto teremos,

f^' (x) = (1) e^(- x^2) + x e^(- x^2) ( - 2 x )

= e^(- x^2) - 2 x^2 e^(- x^2)

= e^(- x^2) ( 1 - 2 x^2 )

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do produto

f^(' ') (x) = e^(- x^2) (1 - 2 x^2)

= e^(- x^2) . (- 2 x) (1 - 2 x^2) + e^(- x^2) ( 2 . ( - 2 x ) )

= - 2 x e^(- x^2) (1 - 2 x^2) + - 4 x e^(- x^2)

= - 2 x e^(- x^2) [ (1 - 2 x^2) - 2 ]

= - 2 x e^(- x^2) [ 2 x^2 - 1 ]

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = e^(- x^2) (1 - 2 x^2) = 0

Como e^x nunca se anula, então f^' (x) = 0 quando x = +- (1)/(sqrt(2)) , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - oo , - (1)/(sqrt(2)) ) x = - (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - (1)/(sqrt(2)) , 0 ) x = - (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - (1)/(sqrt(2)) é um ponto de minimo no intervalo de ( - oo , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( (1)/(sqrt(2)) , oo ) x = (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 0 , (1)/(sqrt(2)) ) x = (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = (1)/(sqrt(2)) é um ponto de máximo no intervalo de ( 0 , + oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = - 2 x e^(- x^2) [ 2 x^2 - 1 ] = 0

Como e^x nunca se anula, então f^' (x) = 0 quando x = +- (1)/(sqrt(2)) , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão e quando x = 0 .

Sendo assim temos três candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - oo , - (1)/(sqrt(2)) ) x = - (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) assume valores positivo (concavidade cima ). E para valores dentro do intervalo ( - (1)/(sqrt(2)) , 0 ) x = - (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) irá assumir valores positivos (concavidade cima). Logo, x = - (1)/(sqrt(2)) é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( (1)/(sqrt(2)) , oo ) x = (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) assume valores negativos (concavidade cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , (1)/(sqrt(2)) ) x = (1)/(sqrt(2)) , f ( x ) irá assumir valores negativos (concavidade cima). Logo, x = (1)/(sqrt(2)) é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + oo ) .

Já, para valores próximos de 0 pela esquerda f ( x ) irá assume valores positivos (concavidade para cima). Já para valores próximos de 0 pela direita, f ( x ) também irá assumir valores negativos (concavidade para baixo ). Logo, há mudança de sinal.

Sendo assim, x = 0 n é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais , perceba que podemos reescrever f ( x ) como :

f (x) = (x)/(e^(x^2))

Sendo assim quando tomarmos o limites teremos

underset(x -> +- oo)(lim) f (x) = underset(x -> +- oo)(lim) f (x) = (x)/(e^(x^2)) = (oo)/(oo)

Sendo assim podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivando em cima e em baixo,

underset(x -> +- oo)(lim) f (x) = (1)/(2 x e^(x^2)) = 0

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em zero.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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