Enunciado

Você está preparando um pôster retangular que deverá conter 50   p o l . 2 de material impresso, com margens superior e inferir de 4   p o l . Cada uma e margens à direita e À esquerda de 2   p o l . cada uma . Que dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada?

Passo 1

Vamos chamar de x e y o tamanho da folha d eimpressão do poster.

Dessa forma, vamos ter a seguinte figura com a margem.

A parte impressa vai ser o tamanho da folha menos a margem, que vai ser um retângulo de lados y - 4 e x - 8 . A área do papel vai ser:

A = x y

Ele deu a área da parte impressa, então vamos ter:

y - 4 x - 8 = 50

Assim,

y - 4 = 50 x - 8

y = 4 + 50 x - 8

A área da folha vai ser:

A = x 4 + 50 x - 8

A = 4 x + 50 x x - 8

Onde x precisa ser maior que 8 e o y precisa ser maior que 4 , que são as margens.

x > 8

y > 4

Como temos uma relação dos dois, não precisamos nos preocupar com ambos os intervalos, vamos pegar só o de x já que nossa função da área so ficou com x

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A = 4 x + 50 x x - 8

Para isso, vamos derivar usando a regra do quociente no segundo termo:

A ' = 4 + 50 x ' x - 8 - 50 x x - 8 ' x - 8 2

A ' = 4 + 50 x - 8 - 50 x . 1 x - 8 2

A ' = 4 + 50 x - 400 - 50 x x - 8 2

A ' = 4 - 400 x - 8 2

Fazendo isso igual a 0

4 - 400 x - 8 2 = 0

4 = 400 x - 8 2

Cortando o 4 dos dois lados

1 = 100 x - 8 2

Multiplicnado cruzado:

x - 8 2 = 100

x - 8 = ± 10

x = 8 ± 10

Vamos ter:

x = 18

Ou

x = - 2

Como x precisa ser maior que 8 , vamos pegar apenas o 18 .

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = 4 x + 50 x x - 8

Ele só deu a limitação em 8 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

x = 8 → V = 4.8 + 50.8 8 - 8 = 32 + 400 0 = 32 + ∞ = ∞

x = 18 → V = 4.18 + 50.18 18 - 8 = 72 + 900 10 = 72 + 90 = 162

x = ∞

Nesse valor de x indo para infinito, o segundo termo, o da fração vai para 50 , so que o 4 x já deixa tudo infinito, então ele vai para infinito mesmo.

O menor dos 3 valores é quando x = 18

Então vamos ter

x = 18     p é s

E

y = 4 + 50 18 - 8 = 4 + 50 10 = = 4 + 5 = 9   p é s

Resposta

Letra a

x = 18   p é s

y = 9   p é s

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