Enunciado

Uma horta de ervilhas retangular com 216   m 2 será cercada e dividida em duas parte iguais por outra cerca paralela a um dos lados. Quais as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor quantidade total de cerca? Quantos metros de cerca serão necessários?

Passo 1

A nossa situação é a seguinte:

O total de cerca vai ser:

C = 3 y + 4 x

Aqui entra 3 y por que, além das cercas de comprimento y laterais, também tem uma no meio de comprimento y que divide os dois pedaços, beleza? 😉

Contando apenas os lados do retângulo.

Além disso, ele deu a área, vamos ter:

2 x y = 216

Assim,

x y = 108

y = 108 x

O total de cerva vai ser:

C = 3 108 x + 4 x

C = 324 x + 4 x

Onde x precisa ser maior que 0

x > 0

Ele não pode ser zero porque temos o x no denominador

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

C = 324 x + 4 x

Colocando a fração como potência:

C = 324 x - 1 + 4 x

Derivando:

C ' = - 324 x - 2 + 4

Fazendo isso igual a 0

- 324 x - 2 + 4 = 0

324 x 2 = 4

x 2 = 324 4

x 2 = 81

x = ± 9

Além disso, vamos ter o ponto crítico quando x 2 = 0 , porque a derivada não existe nesse caso.

x 2 = 0 → x = 0

Mas de todos esses valores, apenas o x = 9 serve para nós.

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

C = 324 x + 4 x

Ele só deu a limitação em 0 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

x = 0 → C = 324 0 + 4 0 = ∞

x = 9 → C = 324 9 + 4 9 = 36 + 36 = 72

x = ∞ → C = 324 ∞ + 4 ∞ = 0 + ∞ = ∞

O menor dos 3 valores é quando x = 9

Entao o retângulo tem dimensões:

x = 9   m

y = 108 9 = 12   m

E comprimento mínimo 72   m

Resposta

Dimensão 9 × 12   m

Comprimento mínimo: 72   m

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