Faça o gráfico da curva y = x^2(2x^2 - 9)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos dizer.

f ( x ) = x 2 ( 2 x 2 - 9 )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado dentro de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Perceba que para x = ± 3 2   e x = 0   temos que f x = 0 , ou seja,

f 3 2 = 3 2 2 2 3 2 2 - 9 = 3 2 2 2 . 9 2 - 9 = 3 2 2 9 - 9 = 3 2 2 . 0 = 0

E,

f - 3 2 = - 3 2 2 2 - 3 2 2 - 9 = - 3 2 2 2 . 9 2 - 9 = - 3 2 2 9 - 9 = - 3 2 2 . 0 = 0

f 0 = 0 2 2 0 2 - 9 = 0 . - 9 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x três vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do Produto,

f ' x = 2 x 2 x 2 - 9 + x 2 . ( 2 . ( 2 x ) )

= 4 x 3 - 18 x + x 2 . 4 x

= 4 x 3 - 18 x + 4 x 3

= 8 x 3 - 18 x

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença

f ' ' x = 8 . 3 x 2 - 18

= 24 x 2 - 18

Passo 4

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 8 x 3 - 18 x = 0

⇒ x 8 x 2 - 18 = 0

⇒ x = 0   ou x = ± 18 8

Sendo assim temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que para valores dentro do intervalo [ - 1,0 )     x = 0   , f ( x ) irá assume valores positivos (crescentes). Já para valores dentro do intervalo (0,1] x = 0   , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 0 é um ponto de máximo no intervalo de - 1,1 .

Já, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 18 8 )   x = - 18 8     , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - 18 8 , - 1 )     x = - 18 8     , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - 18 8 , é um ponto de máximo no intervalo de ( - ∞ , - 1 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1 , 18 8 )   x = 18 8     , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 18 8 , + ∞ )     x = 18 8     , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 18 8 , é um ponto de máximo no intervalo de ( 1 , + ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 24 x 2 - 18 = 0 ⇒ 24 x 2 = 18 ⇒ x 2 = 18 24 = 3 4

⇒ x = 3 2   ou x = - 3 2

Sendo assim temos dois candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 3 2 )     x = 3 2   , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( 3 2 , + ∞ )     x = 3 2     , f ( x ) irá assumir valores positivos (Concavidade para cima). Logo, x = 3 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + ∞ ) .

Já,para valores dentro do intervalo ( - 3 2 , 0 )     x = - 3 2   , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 3 2 )     x = - 3 2     , f ( x ) irá assumir valores positivos (Concavidade para cima). Logo, x = - 3 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Sendo assim, x = ± 3 2 são dois pontos de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade em ambos.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ f x = x 2 ( 2 x 2 - 9 ) = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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