Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x^2 ( 2 x^2 - 9 )

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos dizer.

f ( x ) = x^2 ( 2 x^2 - 9 )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado dentro de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Perceba que para x = +- (3)/(sqrt(2)) e x = 0 temos que f (x) = 0 , ou seja,

f ((3)/(sqrt(2))) = ((3)/(sqrt(2)))^2 (2 ((3)/(sqrt(2)))^2 - 9) = ((3)/(sqrt(2)))^2 (2 . (9)/(2) - 9) = ((3)/(sqrt(2)))^2 (9 - 9) = ((3)/(sqrt(2)))^2 . 0 = 0

E,

f ((- 3)/(sqrt(2))) = ((- 3)/(sqrt(2)))^2 (2 ((- 3)/(sqrt(2)))^2 - 9) = ((- 3)/(sqrt(2)))^2 (2 . (9)/(2) - 9) = ((- 3)/(sqrt(2)))^2 (9 - 9) = ((- 3)/(sqrt(2)))^2 . 0 = 0

f (0) = (0)^2 (2 (0)^2 - 9) = 0 . (- 9) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x três vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do Produto,

f^' (x) = 2 x (2 x^2 - 9) + x^2 . ( 2 . ( 2 x ) )

= 4 x^3 - 18 x + x^2 . 4 x

= 4 x^3 - 18 x + 4 x^3

= 8 x^3 - 18 x

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença

f^(' ') (x) = 8 . (3) x^2 - 18

= 24 x^2 - 18

Passo 4

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = 8 x^3 - 18 x = 0

=> x (8 x^2 - 18) = 0

=> x = 0 ou x = +- sqrt((18)/(8))

Sendo assim temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que para valores dentro do intervalo [ - 1,0 ) x = 0 , f ( x ) irá assume valores positivos (crescentes). Já para valores dentro do intervalo (0,1] x = 0 , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 0 é um ponto de máximo no intervalo de [- 1,1] .

Já, para valores dentro do intervalo ( - oo , - sqrt((18)/(8)) ) x = - sqrt((18)/(8)) , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - sqrt((18)/(8) ,) - 1 ) x = - sqrt((18)/(8)) , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - sqrt((18)/(8) ,) é um ponto de máximo no intervalo de ( - oo , - 1 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1 , sqrt((18)/(8)) ) x = sqrt((18)/(8)) , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( sqrt((18)/(8) ,) + oo ) x = sqrt((18)/(8)) , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = sqrt((18)/(8) ,) é um ponto de máximo no intervalo de ( 1 , + oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = 24 x^2 - 18 = 0 => 24 x^2 = 18 => x^2 = (18)/(24) = (3)/(4)

=> x = (sqrt(3))/(2) ou x = - (sqrt(3))/(2)

Sendo assim temos dois candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , (sqrt(3))/(2) ) x = (sqrt(3))/(2) , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( (sqrt(3))/(2) , + oo ) x = (sqrt(3))/(2) , f ( x ) irá assumir valores positivos (Concavidade para cima). Logo, x = (sqrt(3))/(2) é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + oo ) .

Já,para valores dentro do intervalo ( - (sqrt(3))/(2) , 0 ) x = - (sqrt(3))/(2) , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( - oo , - (sqrt(3))/(2) ) x = - (sqrt(3))/(2) , f ( x ) irá assumir valores positivos (Concavidade para cima). Logo, x = - (sqrt(3))/(2) é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , 0 ) .

Sendo assim, x = +- (sqrt(3))/(2) são dois pontos de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade em ambos.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(lim) f (x) = x^2 ( 2 x^2 - 9 ) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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