Faça o gráfico da curva y = (x^2 - 4) / (x^2 - 3)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 2 - 4 x 2 - 3

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = ± 3 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x ≠ ± 3 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x 2 - 4 = 0 ⇒ x = ± 2

Sendo assim, x = ± 2 é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f 2 = f ( - 2 ) = ( 2 ) 2 - 4 ( 2 ) 2 - 3 = 4 - 4 4 - 3 = 0 1 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = 2 x . ( x 2 - 3 ) - ( x 2 - 4 ) . ( 2 x ) x 2 - 3 2

= 2 x 3 - 6 x - 2 x 3 + 8 x x 2 - 3 2

= 2 x x 2 - 3 2

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' x = 2 x 2 - 3 2 - 2 x ( . 2 . x 2 - 3 . 2 x ) x 2 - 3 4

= x 2 - 3 2 x 2 - 3 1 - 2 x 4 x x 2 - 3 4

= 2 ( x 2 - 3 ) - 8 x 2 x 2 - 3 3

= 2 x 2 - 6 - 8 x 2 x 2 - 3 3

= - 6 ( 1 + x 2 ) x 2 - 3 3

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' x = 2 x x 2 - 3 2 = 0 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0    

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - 3 , 0 )     x = 0   , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f x decresce). E para valores dentro do intervalo 0 , 3   x = - 1     , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x cresce). Logo, x = 0   é um ponto de mínimo no intervalo de - 3 , 3 .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 6 ( 1 + x 2 ) x 2 - 3 3 = 0 ⇒   - 6 1 + x 2 = 0   ⇒   1 + x 2 = 0   ⇒   x 2 = - 1   ⇒   x = ± - 1    

No entanto, a raiz quadrada de um número negativo não existe nos reais. Sendo assim, f ' ( x ) não possui pontos críticos em seu domínio e consequentemente f x não tem mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ x 2 - 4 x 2 - 3 = l i m x → ∞ x 2 x 2 - 4 x 2 x 2 x 2 - 3 x 2 = l i m x → ∞ 1 - 4 x 2 1 - 3 x 2 = 1 - 0 1 - 0 = 1

Logo, f x possui uma assíntota horizontal em     f ( x ) = 1 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = ± 3 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → - 3 - ⁡ f x =     l i m x → 3 + f x = - ∞

Logo,   f x possui assíntotas verticais em x = ± 3 .

Resposta

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