Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x^2 - 4)/(x^2 - 3)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x^2 - 4)/(x^2 - 3)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = +- sqrt(3) , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != +- sqrt(3) .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x^2 - 4 = 0 => x = +- 2

Sendo assim, x = +- 2 é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f (2) = f ( - 2 ) = (( 2 )^2 - 4)/(( 2 )^2 - 3) = (4 - 4)/(4 - 3) = (0)/(1) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = (2 x . ( x^2 - 3 ) - ( x^2 - 4 ) . ( 2 x ))/((x^2 - 3)^2)

= (2 x^3 - 6 x - 2 x^3 + 8 x)/((x^2 - 3)^2)

= (2 x)/((x^2 - 3)^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = (2 (x^2 - 3)^2 - (2 x) ( . 2 . (x^2 - 3) . 2 x ))/((x^2 - 3)^4)

= ((x^2 - 3) [2 (x^2 - 3)^1 - (2 x) (4 x)])/((x^2 - 3)^4)

= ([2 ( x^2 - 3 ) - 8 x^2])/((x^2 - 3)^3)

= ([2 x^2 - 6 - 8 x^2])/((x^2 - 3)^3)

= (- 6 ( 1 + x^2 ))/((x^2 - 3)^3)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (2 x)/((x^2 - 3)^2) = 0 => 2 x = 0 => x = 0

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - sqrt(3) , 0 ) x = 0 , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f (x) decresce). E para valores dentro do intervalo (0 , sqrt(3)) x = - 1 , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f (x) cresce). Logo, x = 0 é um ponto de mínimo no intervalo de (- sqrt(3) , sqrt(3)) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (- 6 ( 1 + x^2 ))/((x^2 - 3)^3) = 0 => - 6 (1 + x^2) = 0 => 1 + x^2 = 0 => x^2 = - 1 => x = +- sqrt(- 1)

No entanto, a raiz quadrada de um número negativo não existe nos reais. Sendo assim, f ' ( x ) não possui pontos críticos em seu domínio e consequentemente f (x) não tem mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2 - 4)/(x^2 - 3) = underset(x -> oo)(l i m) ((x^2)/(x^2) - (4)/(x^2))/((x^2)/(x^2) - (3)/(x^2)) = underset(x -> oo)(l i m) (1 - (4)/(x^2))/(1 - (3)/(x^2)) = (1 - 0)/(1 - 0) = 1

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em f ( x ) = 1 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = +- sqrt(3) , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> - sqrt(3)^-)(lim) f (x) = underset(x -> sqrt(3)^+)(l i m) f (x) = - oo

Logo, f (x) possui assíntotas verticais em x = +- sqrt(3) .

Resposta

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