Enunciado

Suponha que a função de posição de uma partícula em movimento retilíneo seja dada pela fórmula s t = t 2 t 2 + 8 para t ≥ 0 .

  1. Use um recurso gráfico computacional para gerar as curvas posição, velocidade e aceleração versus tempo.
  2. Use um gráfico apropriado para fazer uma estimativa do instante em que a partícula reverte sua direção e, então, encontre esse tempo.
  3. Encontre a posição, a velocidade e a aceleração no instante em que a partícula reverte sua direção.
  4. Use os gráficos apropriados para fazer uma estimativa dos intervalos de tempo nos quais a partícula está aumentando e dos intervalos de tempo nos quais está diminuindo sua velocidade e os encontre com exatidão.
  5. Quando a partícula tem suas velocidades máxima e mínima?

Passo 1

  1. Para acha a função velocidade é só derivar a função posição, vamos lá:
  2. v t = s ' t = 1 2 t 2 + 8 - t 2 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 + 0 2 t 2 + 8 2 = 2 t 2 + 8 - t 4 t 2 t 2 + 8 2 = 2 t 2 + 8 - 4 t 2 2 t 2 + 8 2 =

    = - 2 t 2 + 8 2 t 2 + 8 2 = - 2 t 2 + 8 2 t 2 + 4 2 = - 2 t 2 + 8 4 t 2 + 4 2 = - t 2 + 4 2 t 2 + 4 2

    E a função aceleração é a derivada da função velocidade, vamos então derivar:

    a t = v ' t = - 2 ⋅ t 2 - 1 + 0 ⋅ 2 ⋅ t 2 + 4 2 - - t 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ t 2 + 4 2 t + 0 2 t 2 + 4 2 2 =

    = 2 - 2 t t 2 + 4 2 - 4 - t 2 + 4 t 2 + 4 2 t 4 t 2 + 4 4 = - 4 t t 2 + 4 - 8 t - t 2 + 4 4 t 2 + 4 3 =

    = - 4 t 3 - 16 t + 8 t 3 - 32 t 4 t 2 + 4 3 = 4 t 3 - 48 t 4 t 2 + 4 3 = t 3 - 12 t t 2 + 4 3

    Pronto, vamos gerar o gráfico das curvas:

    Passo 2

  3. Para estimar o instante em que a partícula reverte sua direção temos que analisar a curva da velocidade, e ver onde ela toca o eixo x , e isso acontece em t = 2 .
  4. Conseguimos confirmar isso fazendo v t = 0 :

    - t 2 + 4 2 t 2 + 4 2 = 0 → - t 2 + 4 = 0 → t = ± 2

    Como nosso intervalo é t ≥ 0 , temos que em t = 2 a partícula reverte sua direção.

    Passo 3

  5. Aqui é só aplicar t = 2 para achar a posição, a velocidade e a aceleração:
  6. s 2 = 2 2 ⋅ 2 2 + 8 = 2 8 + 8 = 2 16 = 1 8

    v 2 = - 2 2 + 4 2 2 2 + 4 2 = - 4 + 4 2 4 + 4 2 = 0

    a 2 = 2 3 - 12 ⋅ 2 2 2 + 4 3 = 8 - 24 4 + 4 3 = - 16 8 3 = - 16 512 = - 1 32

    Passo 4

  7. Uma partícula em movimento retilíneo está aumentando sua velocidade quando a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal, e diminuindo sua velocidade quando tiverem sinais opostos, vamos analisar isso no gráfico:
  8. Temos que está aumentando sua velocidade no intervalo 2 ; 3,5 e diminuindo sua velocidade nos intervalos 0,2 e 3,5 ; + ∞ .

    Vamos agora calcular o valor exato, vamos igualar a expressão da aceleração a zero:

    t 3 - 12 t t 2 + 4 3 = 0 → t 3 - 12 t = 0 → t t 2 - 12 = 0 →

    t = 0

    t 2 - 12 = 0 → t = ± 12 = ± 2 2 ⋅ 3 = ± 2 3

    Como o intervalo considerado aqui é t ≥ 0 temos então que t = 2 3 , assim a partícula está aumentando sua velocidade no intervalo 2 ; 2 3 e diminuindo sua velocidade nos intervalos 0,2 e 2 3 ; + ∞ .

    Passo 5

  9. Ela tem suas velocidades máxima e mínima onde a aceleração é igual a zero e no ponto crítico da primeira derivada, assim vamos checar os três valores:

v 0 = - 0 2 + 4 2 0 2 + 4 2 = 4 2 ⋅ 16 = 2 16 = 0,12 5

v 2 = - 2 2 + 4 2 2 2 + 4 2 = - 4 + 4 2 2 2 + 4 2 = 0

v 2 3 = - 2 3 2 + 4 2 2 3 2 + 4 2 = - 4 ⋅ 3 + 4 2 4 ⋅ 3 + 4 2 = - 12 + 4 2 12 + 4 2 = - 8 2 ⋅ 256 = - 0,015 6

Pronto, temos então que a velocidade máxima é em t = 0 e a mínima em t = 2 3 .

Resposta

  1. t = 2
  2. s 2 = 1 8 , v 2 = 0 e a 2 = - 1 32
  3. A partícula está aumentando sua velocidade no intervalo 2 ; 2 3 e diminuindo sua velocidade nos intervalos 0,2 e 2 3 ; + ∞
  4. A velocidade máxima é em t = 0 e a mínima em t = 2 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .Use
Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .Use
Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .Use
Se o gráfico de f tiver uma cúspide em x = 1 , então f não pode ter uma inflexão em x = 1 .
Suponha que o gráfico de uma função f tenha sido obtido com um recurso computacional. Discuta a informação que as técnicas do Cálculo podem fornecer a respeito de f além do que pode ser deduzido do gr