Enunciado

Faça o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 por meio dos gráficos das funções que são a metade superior e inferior da elipse.

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e agora eu e você iremos resolver esta atividade.

A questão pede para fazermos o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 obtendo duas funções que representam as metades inferior e superior da elipse. Para isso, teremos que encontrar quem são as equações que representam a parte inferior e a parte superior da nossa elipse.

Podemos fazer isso isolando a variável y   da equação da elipse que nos foi dada, teremos assim duas equações em função de x   .

Passo 2

Dito isso, o primeiro passo é passar todo mundo que não é y   para o outro lado da igualdade.

2 y 2 = 1 - 4 x 2

y 2 = 1 - 4 x 2 2

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que y 2 = a   → y = ± a , temos:

y = + 1 2 ⋅ 1 - 4 x 2

y = - 1 2 ⋅ 1 - 4 x 2

Agora que temos duas equações, cada uma sendo uma parte da elipse, agora podemos criar os dois gráficos.

Passo 3

Para construir o gráfico, precisamos de alguns pontos. Precisamos das raízes das nossas equações e precisamos dos seus vértices. Para encontrarmos as raízes iremos igualar nossa equação a zero:

0 = ± 1 2 ⋅ 1 - 4 x 2

0 = 1 - 4 x 2

0 = 1 - 4 x 2

1 = 4 x 2

x 2 = 1 4

x = ± 1 2

Agora, para entendermos melhor a localização da "cabeça" da nossa elipse, chamada de vértice, precisamos encontrar onde a elipse atinge o ponto mais alto ou mais baixo. Para fazer isso, calculamos o valor de x   no vértice da equação. Isso é como encontrar o meio exato da elipse.

Depois, uma vez que temos esse valor de x   , o substituímos de volta na equação para descobrir a altura da elipse nesse ponto, que é o valor de y   no vértice.

Para as nossas equações

y = ± 1 2 ⋅ 1 - 4 x 2

A coordenada y   do vértice é determinada quando a parte dentro da raiz quadrada atinge seu valor mínimo, que ocorre quando x = 0   . Substituindo x = 0   na equação, obtemos:

y = ± 1 2

Com esses pontos em mãos, então desenhar o gráfico das nossas equações.

Passo 4

Com ajuda do GeoGebra, irei desenhar esse gráfico. Em vermelho temos a parte superior (sinal de + ) e em verde a parte inferior (sinal de - ):

Resposta

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