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Exercícios Resolvidos de Cálculo 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)

Enunciado

Cálculo - Cálculo 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - 1.Exercícios práticos - 68

  1. Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x )
  2. Qual o domínio e a imagem de f ?
  3. f é uma função periódica? Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí, pessoas! Bora pra mais uma?

Na letra (a) ele quer que você apenas monte o gráfico, sem mistérios.

Na letra (b) você vai dizer qual é o domínio (de onde ele parte) e a imagem (somente os valores em que ela chega) da função.

E na letra (c) você vai verificar se ela tem um certo padrão.

Bora lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

A letra (a) é a mais direta. O gráfico da função é meio doidão. Fica assim:

Passo 3

(b)

Pra achar o domínio, é só ver onde que ela tá definida no eixo x . Parece que pode ser qualquer x , né? É aí que você se engana! Se eu jogar x = 0 deixa de ser função, porque eu estaria dividindo 1 por 0 e não pode isso. Então o domínio são todos os reais, menos o 0.

D ( f ) = R - { 0 }

E a imagem é onde tá chegando. Tá vendo que só tá indo de -1 a 1? Então:

I m ( f ) = [ - 1,1 ]

Passo 4

(c)

Dá pra ver de cara que ela não é periódica, porque ela não apresenta um padrão único pra qualquer pedaço. Mas vamos supor que ela seja periódica e o período seja T, ok?

A função dada foi f ( x ) = s e n ( 1 x ) . Vamos jogar x + k T ali dentro, onde T é o período e k é a quantidade de vezes que esse período vai ser somado. Por que isso? Porque eu sei que o valor da função pra um ponto x e o valor dela pra x + k T tem que ser iguais, porque vão corresponder a pontos iguais (já que, no gráfico, são pontos que levam no mesmo y). Como vale pra qualquer x, vale pra um x arbitrário, como 1 2 π .

f ( x ) = s e n ( 1 x ) → f ( 1 2 π + k T ) = f ( 1 2 π )   = s e n ( 1 1 2 π )   = s e n 2 π = 0  

Agora, vamos pegar um k tão grande que faça com que 1 2 π + k T > 1 π , por exemplo.

Passando o π como multiplicação e o 1 2 π + k T como divisão: 1 ( 1 / 2 π ) + k T < π . Só que 1 ( 1 / 2 π ) + k T nunca pode ser zero, porque o denominador não é zero, e a gente tá pegando um k muito grande positivo. Então: 0 < 1 ( 1 / 2 π ) + k T < π

Logo:

f ( x ) = s e n ( 1 x ) → f ( 1 2 π + k T ) = s e n ( 1 ( 1 / 2 π ) + k T ) > 0 , o que é uma contradição, porque a gente viu que tinha que ser igual a zero.

Pronto :)

Resposta

(b) D ( f ) = R - { 0 } , I m ( f ) = [ - 1,1 ]

(c) Ela não é periódica

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