Funções Trigonométricas – Parte 1

Teoria Completa

Vocês se lembram daquelas relações trigonométricas? Então, vou relembrar com vocês as três principais,

s e n θ ,     c o s θ             e         t g θ

A gente pegava esse ângulo maroto aí dos nossos triângulos retângulos, fazíamos as continhas e acabou.

Mas o que acontece se transformarmos cada uma das relações que tínhamos anteriormente em funções?

Ou seja, o que acontece a medida que variamos o valor de x, para as seguintes funções?

f x = sen ⁡ ( x ) g x = cos ⁡ ( x ) h ( x ) = tan ⁡ ( x )

Precisamos então entender como cada uma das funções vai se comportar e nesse sentido, precisamos falar sobre algo em especial: Periodicidade.

Periodicidade das funções trigonométricas

Antes de tudo: O que é uma função periódica?

Uma função periódica é uma função que se repete dentro de um intervalo no eixo x .

Ainda não entendeu? Vamos ver um exemplo!

Observe o gráfico abaixo

Olhando pra esse gráfico, percebemos por exemplo que para x = 2 , temos y = 3 , quando x = 10 , também temos y = 3 . Agora, você consegue me dizer qual o próximo valor de x nos retornará y = 3 ?

Se você respondeu x = 18 , parabéns! :D

Se não respondeu, fica tranquilo. Você vai entender agora...

Na verdade, a gente consegue fazer essa previsão porque para determinados valores de x , encontramos um mesmo valor de y repetido de 8 em 8 unidades de x .

Então, dizemos que o

f 2 = 3

E que o

f 2 + 8 = 3   →     f 10 = 3

Shooooow?

Podemos dizer que o

f 2 = f 2 + 8 = 3

Chamaremos esse 8 de PERÍODO!

Vemos isso até no gráfico, o mesmo formato vai se repetindo de 8 em 8 unidades de x, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.

Formalizando um pouco mais, temos que uma função é chamada de periódica quando:

f x + T = f ( x )

Para todo x .

E o menor valor de T que satisfaz a condição acima é chamado de período da função f .

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas... Já que a medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

f x = sen ⁡ ( x )

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o x , estarão dentro do ciclo trigonométrico. Observe que os valores extremos que aparecerão serão o - 1 e o 1 .

Vimos que o eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Isso significa que o seno terá valores extremos em π 2   e em 3 π 2 . Pois s e n π 2 = 1   e   s e n 3 π 2 = - 1 .

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno(Valores possíveis para o x ) é o conjunto dos números reais, ou: D f = R

Já para a imagem (Valores acertados em y ) , sabemos que a função vai estar entre -1 a 1. Isso significa que

I m f = - 1,1 = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Lembrando que teremos isso quando f x = s e n ( x ) .

Mas e se tivermos

f x = 2   .   s e n ( x )

Percebe que nesse caso, todos os valores de y que tínhamos anteriormente são multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em 2   e - 2 , respectivamente.

Generalizando isso, poderemos dizer que todas as vezes em que um número multiplicar a nossa função, teremos:

f x = a ⋅ sen ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Para a ≠ 0 .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero. Isso significa que a função passará a ser constante, pra qualquer valor de x , teremos y = 0 .

Para esboçar o gráfico da função seno, usaremos os valores que encontramos lá no ciclo trigonométrico. A medida que sabemos os valores do seno, em relação a nossa tabela com os valores conhecidos, basta que a gente marque esses pontos no nosso gráfico.

Essa é a tabela com alguns valores que já são conhecidos

Marcando esses pontos no gráfico e ligando, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, a medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x.

Obs: Esse x de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazíamos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de 2 π em 2 π ,   o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É 2 π !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

f x = sen ⁡ 2 x

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é aquele número que acompanha o x ali dentro do seno e igualamos a 2 π , que é o período da função s e n ( x ) de forma que, por exemplo:

2 π = 2 T ∴ T = π

Vamos comparar os gráficos!

Se tivéssemos

f x = s e n x 3

Teríamos

T 3 = 2 π → T = 6 π

Quando temos números somando dentro do seno, a gente pode ignorar esse valor! Igualamos a 2 π só a parte que multiplica x . Então,

sen ⁡ ( 2 x + π ) ⟹ 2 T = 2 π ∴ T = π

O termo que soma apenas deslocará a função um pouquinho pro lado, mas o período será o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Além disso, podemos reparar que o gráfico da função seno também é simétrico em relação a origem. Isso significa que é uma função ímpar. Isso significa, por exemplo que

s e n π 2 = 1     ;     s e n - π 2 = s e n 3 π 2 = - 1

Ou seja

s e n - π 2 = -   s e n π 2 = - 1

Generalizando para qualquer x, temos que sempre vai valer

sen ⁡ - x = - sen ⁡ ( x )

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

f x = c o s ( x )

Assim como no seno, o domínio será o conjunto dos números reais:

D f = R

E, como também oscila entre [ - 1,1 ] , terá imagem:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Ou, para um coeficiente multiplicando a função:

f x = a ⋅ cos ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Calcularemos o período da mesma forma que fazíamos no seno, uma vez que o período também é de 2 π .

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas deslocado e tendo valor y = 1 em x = 0 .

Montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os dados que temos para o cosseno, observa que é um pouquinho diferente

Marcando esses pontos, teremos