Funções Trigonométricas – Parte 1

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Teoria

Você se lembra daquelas relações trigonométricas? Então, vou relembrar contigo as principais,

s e n θ           e           c o s θ

O θ (teta) era um ângulo maroto de um triângulo retângulo, nós identificávamos a hipotenusa e os catetos e usando as fórmulas, nós fazíamos as continhas.

Mas o que acontece se transformarmos cada uma das relações que tínhamos anteriormente em funções? Ou seja, o que acontece à medida que variarmos o valor de x, para as seguintes funções?

f x = sen ⁡ ( x )                       g x = cos ⁡ ( x )

Precisamos então entender como cada uma das funções vai se comportar e nesse sentido, precisamos falar sobre algo em especial: Periodicidade.

Periodicidade das funções trigonométricas

Antes de tudo: O que é uma função periódica?

Uma função periódica é uma função que se repete dentro de um intervalo no eixo x .

Ainda não entendeu? Vamos ver um exemplo!

Observe o gráfico abaixo e veja como a função se repete:

Olhando pra esse gráfico, percebemos por exemplo que para x = 2 , temos y = 3 , e quando x = 10 , também temos y = 3 . Agora, você consegue me dizer qual o próximo valor de x nos retornará y = 3 ?

Se você respondeu x = 18 , parabéns! :D

Se não respondeu, fica tranquilo. Você vai entender agora...

Na verdade, a gente consegue fazer essa previsão porque encontramos um mesmo valor de y repetido de 8 em 8 unidades de x .

Então, assim como

f 2 = 3 e f 2 + 8 = 3   →     f 10 = 3

Podemos prever que

f 10 + 8 = 3 → f 18 = 3

Shooooow?

Então chamaremos esse 8 de PERÍODO!

Podemos ver isso no gráfico, o mesmo formato vai se repetindo de 8 em 8 unidades de x, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.

Formalizando um pouco mais, temos que uma função é chamada de periódica quando:

f x + T = f ( x )

Para todo x .

E o menor valor de T que satisfaz a condição acima é chamado de período da função f .

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas, já que à medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

f x = sen ⁡ ( x )

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o x estarão dentro do ciclo trigonométrico, que está representado abaixo:

Vamos relembrar alguns detalhes importantes do círculo trigonométrico: o eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Além disso, em radianos, uma volta completa no círculo vale 2 π e as medidas dos ângulos começam a partir do ponto vermelho e indo pra cima, no sentido anti-horário.

Com isso, podemos dizer que o seno terá valores extremos para ângulos de π 2 (ponto mais alto do círculo) e 3 π 2 (ponto mais baixo do círculo), onde a função vale:

s e n π 2 = 1           e           s e n 3 π 2 = - 1 .

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno (valores possíveis para o x ) é o conjunto dos números reais, ou: D f = R

Já para a imagem (valores resultantes em y ) , vimos que a função vai estar sempre entre -1 e 1. Isso significa que

I m f = - 1,1 = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Lembrando que teremos isso quando f x = s e n ( x ) .

Mas e se tivermos

f x = 2   .   s e n ( x )

Perceba que, nesse caso, todos os valores de y que tínhamos anteriormente vão ser multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em 2   e - 2 , respectivamente.

Isso vai acontecer sempre que tivermos a função seno multiplicada por uma constante, então podemos generalizar:

f x = a ⋅ sen ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Para a ≠ 0 .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero e nesse caso, a função valeria zero para qualquer valor de x .

Para esboçar o gráfico da função seno, vamos usar alguns valores conhecidos da função usando os chamados “ângulos notáveis” e algumas relações do círculo trigonométrico. Juntei tudo nessa tabelinha abaixo:

Agora, marcando esses pontos no gráfico e ligando para formar nossa curva, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x:

Obs: Esse x de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazemos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de 2 π em 2 π ,   o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É 2 π !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

f x = sen ⁡ 2 x

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é tudo que fica dentro do seno, substituímos o x pelo T que é a letra que representa o período e igualamos isso a 2 π , que é o período da função s e n ( x ) . Olha só:

2 T = 2 π → T = π

Vamos comparar os gráficos!

Repara que a curva azul, que representa sen ⁡ ( 2 x ) , se repete duas vezes no intervalo que a vermelha, que representa sen ⁡ x , repete uma só. Isso acontece porque o período de s e n ⁡ ( 2 x ) é a metade do período de sen ⁡ x !

Mas e se tivéssemos

f x = s e n x 3

Repetindo aquele procedimento, temos

T 3 = 2 π → T = 3 × 2 π = 6 π

E quando temos números somando ou subtraindo dentro do seno, podemos ignorar esse valor! Igualamos a 2 π só a parte que multiplica x . Então,

sen ⁡ ( 2 x + π ) ⟹ 2 T = 2 π → T = π

O termo que soma apenas desloca a função um pouquinho pro lado, mas o período é o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

f x = c o s ( x )

Ela funciona de um jeito MUITO parecido com a função seno, então muito do que vimos até aqui podemos estender pra função cosseno, por exemplo: o domínio da função cosseno também é dado pelo conjunto dos números reais:

D f = R

E, assim como o seno, os valores que saem da função também oscilam entre [ - 1,1 ] , por isso a imagem também é:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

E quando tivermos uma constante multiplicando a função, ficamos com:

f x = a ⋅ cos ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas um pouco deslocado e nós montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os valores que temos para o cosseno. Observe que temos os mesmos números aparecendo nas duas funções, só que em lugares diferentes:

Marcando esses pontos num gráfico, temos

E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, temos

A função cosseno também é periódica, se repetindo a cada 2 π , que é a medida de uma volta completa no círculo trigonométrico, assim como o seno! E da mesma forma, se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período fazendo o mesmo procedimento:

f x = cos ⁡ 2 x

2 T = 2 π → T = π

Função Seno

Função Cosseno

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:

  1. O seno de um ângulo θ é calculado através da fórmula s e n θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a ;
  2. O cosseno de um ângulo θ é calculado através da fórmula c o s θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a ;
  3. As relações s e n θ , cos ⁡ θ ,   t g θ são definidas a partir de um triângulo retângulo.
  4. A tangente de um ângulo θ é calculada através da fórmula t g θ = c a t e t o   a d j a c e n t e   a   θ c a t e t o   o p o s t o   a   θ

Passo 1

Fala Aíí!! Vamos analisar cada uma das afirmações e verificar quais são verdadeiras e quais são falsas!

Na letra (a) temos a afirmação “O seno de um ângulo θ é calculado através da fórmula s e n θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a " .

Vamos relembrar o que é o seno de um ângulo?

O s e n o θ é a razão entre a medida do cateto oposto θ e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Ou seja, é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipostenusa

Pra lembrar a gente pode até brincar com as palavras. Olha para o ângulo e para o cateto oposto, você concorda que o cateto oposto está longe do ângulo? Então, podemos lembrar que ele está “sem” o ângulo, assim a relação dele com a hipotenusa é o “seno”.

Ou seja, o nosso s e n θ é

Assim, a afirmação da letra (a) é falsa!

Passo 2

b) Para verificar se a afirmação da letra (b) é verdadeira ou falsa vamos relembrar o que é o cosseno de um ângulo θ . O cosseno é a razão entre a medida do cateto adjacente a θ   e a hipotenusa do triângulo. Visualmente, teremos

E aqui também tem aquele joguinho de palavras. Olha para o ângulo e para o cateto adjacente, você concorda que o cateto adjacente está “colado” no ângulo? Então a relação entre a hipotenusa e o cateto que está “colado” no ângulo é o “cosseno”.

Assim,

Ou seja, a afirmação é verdadeira!

Passo 3

c) A afirmação que devemos avaliar se é verdadeira ou falsa é “As relações s e n θ , cos ⁡ θ ,   t g θ são definidas a partir de um triângulo retângulo.” Essa afirmação é verdade, pois o s e n θ , cos ⁡ θ ,   t g θ relacionam as medidas dos lados de um triângulo retângulo com as medidas de seus ângulos.

Lembrando que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é igual a 90 ° .

Passo 4

d) A última afirmação se refere a tangente de um ângulo θ . A tangente é a única relação que não envolve a hipotenusa de um triângulo. Ela é dada por

Onde, no triângulo retângulo

Ou seja, a afirmação da letra (d) é falsa!!

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Falsa

Exercício Resolvido #2

Determine o domínio e a imagem da função f x = 2 + s e n ( x ) e esboce seu gráfico.

Passo 1

Vamos lááá! Primeiro vamos determinar o domínio da função

f x = 2 + s e n ( x )

Sabemos que o domínio da função f x = s e n x   é o conjunto dos números reais, certo?!

Assim, se você reparar, na função do nosso enunciado, estamos apenas somando + 2 , o que não interfere no domínio. Assim, ele continuará sendo o conjunto dos números reais. Portanto,

D = R

Beleza?!

Passo 2

Agora vamos determinar a Imagem da função f x = 2 + s e n x .

Como podemos fazer isso??

Vamos substituir os valores máximo e mínimo de s e n x e assim a imagm será o intervalo entra esses dois valores, beleza?!

Bom, a função sen ⁡ x varia entre - 1 e 1

Assim,

sen ⁡ ( x ) m á x = 1

sen ⁡ ( x ) m í n = - 1

Aplicando esses valores na função f x = 2 + s e n x , temos

Para sen ⁡ ( x ) m á x = 1 :

f x m á x = 2 + s e n x m á x

f x m á x = 2 + 1

f x m á x = 3  

Da mesma forma, para sen ⁡ ( x ) m í n = - 1 :

f x m í n = 2 + sen ⁡ x m í n

f x m í n = 2 + - 1

f x m í n = 1

Portanto, a Imagem de f é:

I m f = 1,3

Show de bola?!

Passo 3

Para esboçarmos o gráfico da função, basta esboçarmos o gráfico de f x = s e n x e somarmos 2 a cada ponto. Ou seja,vamos transladar o gráfico para cima 2 casas:

Show de bola?!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Determine as imagens das funções abaixo:

  1. f x = 4 s e n ( x )
  2. f x = cos ⁡ x 3
  3. f x = 3 ⋅ s e n x
  4. f x = 1 2 cos ⁡ x

Passo 1

Opaaaaa! Precisamos determinar a imagem I m f de cada uma das funções, certo?!

Então vamos lá!

Na letra (a) temos a função   f x = 4 sen ⁡ ( x ) .

A função sen ⁡ ( x ) está entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ s e n ⁡ ( x ) ≤ 1

Agora vamos multiplicar essa desigualdade toda por 4 , pois o que queremos saber é a variação da função f x = 4 sen ⁡ ( x ) , lembra?

4 × - 1 ≤ 4 s e n ⁡ ( x ) ≤ 4 1

Assim,

- 4 ≤ 4 s e n ⁡ ( x ) ≤ 4

Ou seja, a I m f = - 4,4 .

Passo 2

b) Na letra (b) temos a função f x = cos ⁡ x 3 .

Sabemos que a função cos ⁡ x deve estar entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ c o s ⁡ ( x ) ≤ 1

Certo? Como a nossa função é f x = cos ⁡ x 3 então vamos dividir toda a desigualdade por 3 :

- 1 3 ≤ cos ⁡ x 3 ≤ 1 3

Olha aíí!! Dessa forma, I m f = - 1 3 , 1 3 . Show de bola?!

Passo 3

  1. Vamos seguir o mesmo raciocínio para f x = 3 ⋅ sen ⁡ ( x ) !!

Sabemos que a função sen ⁡ ( x ) está entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Agora vamos multiplicar a desigualdade por 3 :

3 ( - 1 ) ≤ 3 s e n ⁡ ( x ) ≤ 3 1

Assim,

- 3 ≤ 3 s e n ⁡ ( x ) ≤ 3

Ou seja, I m f = - 3 , 3

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, para a função da letra (d) f x = 1 2 cos ⁡ x vamos utilizar o mesmo raciocínio!!!

Se

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Então, basta multiplicarmos toda a desigualdade por 1 2 :

1 2 - 1 ≤ 1 2 c o s ⁡ ( x ) ≤ 1 2 1

Assim,

- 1 2 ≤ 1 2 s e n ⁡ ( x ) ≤ 1 2

Ou seja, I m f = - 1 2 , 1 2 .

Show de bola?!?!

Resposta

  1. I m f = - 4,4 .
  2. I m f = - 1 3 , 1 3
  3. I m f = - 3 , 3
  4. I m f = - 1 2 , 1 2

Exercício Resolvido #4

Determine o valor de s e n ( 75 ° )

Passo 1

Vamos lá!! Temos uma tabelinha que podemos carregar para qualquer lugar com os valores dos principais ângulos e seus valores:

Beleza?! Guarda no coração essa tabelinha!! Nessa questão iremos utilizá-la!

Passo 2

Não sabemos o valor de s e n ( 75 ° ) , mas podemos reescrever da seguinte maneira

s e n 75 ° = s e n ( 45 ° + 30 ° )

Concorda?!

MAS PERAAAAA!!!!!

NÃO podemos apenas subtituir os valores e somar!! Como estamos querendo calcular o seno da soma temos uma regrinha a seguir!! É essa aqui ó

Lembra sempre disso! Não podemos apenas substituir e somar os valores dentro do seno, precisamos usar a fórmulinha acima!!

Passo 3

Assim, s e n 45 ° + 30 ° = s e n   45 ° c o s   30 ° + ( s e n   30 ° ) ( cos ⁡ 45 ° )

Agora podemos usar os valores da tabelinha que devem estar no nosso sangue!!!

Substituindo os valores, teremos

s e n 45 ° + 30 ° = 2 2 3 2 + 1 2 2 2

Beleza?!

Podemos fazer a multiplicação

s e n 45 ° + 30 ° = 6 4 + 2 4

Show de bola?!?!

Resposta

s e n 75 ° = 6 4 + 2 4

Exercício Resolvido #5

Determine o valor de s e n ( 7 6 5 ° )

Passo 1

OPAAA!! Queremos calcular o s e n 765 ° , certo?! Lembra que a função   s e n o é uma função periódica? Ela vai se repetir depois do 2 Π ou 360 ° , lembra?

Então vamos quebrar o 765 ° em duas parcelas para facilitar a nossa vida!! Vem comigo!

Passo 2

Vamos fazer o seguinte. Como a função s e n o é periódica

s e n 765 ° = s e n ( 2 × 360 ° + 45 ° )

Sabemos que s e n 360 ° = 0 , basta olhar para o círculo trigonométrico:

Beleza?!

Assim,

s e n 765 ° = s e n ( 2 × 360 ° + 45 ° )

s e n 765 ° = s e n ( 2 × 0 + 45 ° )

s e n 765 ° = s e n ( 0 + 45 ° )

s e n 765 ° = s e n ( 45 ° )

Passo 3

Para encontrar o valor de s e n 45 ° basta olharmos pra tabelinha com o valor dos principais ângulos

Portanto,

s e n 765 ° = s e n ( 45 ° )

s e n 765 ° = 2 2

Show de bola?!?!

Resposta

s e n 765 ° = 2 2

Exercício Resolvido #6

Determine o período das seguintes funções:

  1. f x = 4 cos ⁡ x
  2. f x = 3 cos ⁡ x 2
  3. f x = cos ⁡ x - π 3
  4. f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Passo 1

O período ( T ) de uma função é o intervalo que ela demora em se repetir. Olhando para o gráfico da função cosseno, podemos ver que ela se repete no intervalo de 0 até 2 π .

Então, o período da função cosseno é sempre 2 π .

Passo 2

  1. O período do cosseno é sempre 2 π , então toda vez que x variar em 2 π , teremos a função se repetindo. Isso é a mesma coisa que dizer que x é igual a T .

    Então, agora igualamos seu argumento a esse valor:

    x = T = 2 π

    Só isso mesmo!

    Passo 2

Novamente, vamos chamar x de T e igualar seu argumento a esse valor:

x 2 = T 2 = 2 π ⟹ T = 4 π

Passo 3

c)

Aqui a gente segue os mesmos passos: o período do cosseno é sempre 2 π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor.

Mas, agora, CUIDADO! Neste caso, o π / 3 indica somente que a função está deslocada π / 3 unidades para a direita.

Portanto, o período não é afetado e será:

x = T = 2 π

Passo 4

d)

Na soma de seno e cosseno, o período continua sendo 2 π e, portanto:

x = T = 2 π

Resposta

  1. T = 2 π
  2. T = 4 π
  3. T = 2 π
  4. T = 2 π

Exercício Resolvido #7

Simplifique a função abaixo:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x )

Passo 1

Relembrando, sabemos que a Equação Fundamental   da Trigonometria nos diz:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Isolando o s e n ² ( x ) , teremos:

s e n 2 x = 1 - c o s ² ( x )

Opa! Acabamos de ver uma relação para expressão do nosso denominador.

Passo 2

Passando a raiz dos dois lados, teremos:

s e n x = 1 - c o s ² ( x )

Agora sim, substituindo lá, teremos:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x ) = s e n x s e n ( x ) = 1

Porém a função só está definida para valores de x ≠ k π [para k = 0,1 , 2 , … ] pois nesses valores s e n x = 0 e teríamos uma indeterminação.

Resposta

f x = 1   , s e   x ≠ k π   [ p a r a   k = 0,1 , 2 , … ]  

Exercício Resolvido #8

Um ponto A que se movimenta sobre uma circunferência, tem sua posição p ( t ) considerada na vertical, no instante t descrita pela relação p t = 100 - 20 s e n ( t ) para t ≥ 0 . Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é:

a) 30

b) 40

c) 50

d) 80

e) 120

Passo 1

Bom, ele deu a equação da posição vertical. Vamos ver o que conseguimos fazer com isso?

Lembra que a função seno pode assumir + 1 como valor máximo e - 1 como valor mínimo? Para quem não lembra, olha o gráfico dela ai embaixo,

Vamos usar esse mesmo raciocínio para achar o nosso p m á x e p m í n . Lembra que nós temos essa função,

p t = 100 - 20 s e n ( t )