Funções Trigonométricas – Parte 1

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Vocês se lembram daquelas relações trigonométricas? Então, vou relembrar com vocês as três principais,

s e n θ ,     c o s θ             e         t g θ

A gente pegava esse ângulo maroto aí dos nossos triângulos retângulos, fazíamos as continhas e acabou.

Mas o que acontece se transformarmos cada uma das relações que tínhamos anteriormente em funções?

Ou seja, o que acontece a medida que variamos o valor de x, para as seguintes funções?

f x = sen ⁡ ( x ) g x = cos ⁡ ( x ) h ( x ) = tan ⁡ ( x )

Precisamos então entender como cada uma das funções vai se comportar e nesse sentido, precisamos falar sobre algo em especial: Periodicidade.

Periodicidade das funções trigonométricas

Antes de tudo: O que é uma função periódica?

Uma função periódica é uma função que se repete dentro de um intervalo no eixo x .

Ainda não entendeu? Vamos ver um exemplo!

Observe o gráfico abaixo

Olhando pra esse gráfico, percebemos por exemplo que para x = 2 , temos y = 3 , quando x = 10 , também temos y = 3 . Agora, você consegue me dizer qual o próximo valor de x nos retornará y = 3 ?

Se você respondeu x = 18 , parabéns! :D

Se não respondeu, fica tranquilo. Você vai entender agora...

Na verdade, a gente consegue fazer essa previsão porque para determinados valores de x , encontramos um mesmo valor de y repetido de 8 em 8 unidades de x .

Então, dizemos que o

f 2 = 3

E que o

f 2 + 8 = 3   →     f 10 = 3

Shooooow?

Podemos dizer que o

f 2 = f 2 + 8 = 3

Chamaremos esse 8 de PERÍODO!

Vemos isso até no gráfico, o mesmo formato vai se repetindo de 8 em 8 unidades de x, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.

Formalizando um pouco mais, temos que uma função é chamada de periódica quando:

f x + T = f ( x )

Para todo x .

E o menor valor de T que satisfaz a condição acima é chamado de período da função f .

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas... Já que a medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

f x = sen ⁡ ( x )

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o x , estarão dentro do ciclo trigonométrico. Observe que os valores extremos que aparecerão serão o - 1 e o 1 .

Vimos que o eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Isso significa que o seno terá valores extremos em π 2   e em 3 π 2 . Pois s e n π 2 = 1   e   s e n 3 π 2 = - 1 .

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno(Valores possíveis para o x ) é o conjunto dos números reais, ou: D f = R

Já para a imagem (Valores acertados em y ) , sabemos que a função vai estar entre -1 a 1. Isso significa que

I m f = - 1,1 = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Lembrando que teremos isso quando f x = s e n ( x ) .

Mas e se tivermos

f x = 2   .   s e n ( x )

Percebe que nesse caso, todos os valores de y que tínhamos anteriormente são multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em 2   e - 2 , respectivamente.

Generalizando isso, poderemos dizer que todas as vezes em que um número multiplicar a nossa função, teremos:

f x = a ⋅ sen ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Para a ≠ 0 .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero. Isso significa que a função passará a ser constante, pra qualquer valor de x , teremos y = 0 .

Para esboçar o gráfico da função seno, usaremos os valores que encontramos lá no ciclo trigonométrico. A medida que sabemos os valores do seno, em relação a nossa tabela com os valores conhecidos, basta que a gente marque esses pontos no nosso gráfico.

Essa é a tabela com alguns valores que já são conhecidos

Marcando esses pontos no gráfico e ligando, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, a medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x.

Obs: Esse x de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazíamos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de 2 π em 2 π ,   o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É 2 π !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

f x = sen ⁡ 2 x

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é aquele número que acompanha o x ali dentro do seno e igualamos a 2 π , que é o período da função s e n ( x ) de forma que, por exemplo:

2 π = 2 T ∴ T = π

Vamos comparar os gráficos!

Se tivéssemos

f x = s e n x 3

Teríamos

T 3 = 2 π → T = 6 π

Quando temos números somando dentro do seno, a gente pode ignorar esse valor! Igualamos a 2 π só a parte que multiplica x . Então,

sen ⁡ ( 2 x + π ) ⟹ 2 T = 2 π ∴ T = π

O termo que soma apenas deslocará a função um pouquinho pro lado, mas o período será o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Além disso, podemos reparar que o gráfico da função seno também é simétrico em relação a origem. Isso significa que é uma função ímpar. Isso significa, por exemplo que

s e n π 2 = 1     ;     s e n - π 2 = s e n 3 π 2 = - 1

Ou seja

s e n - π 2 = -   s e n π 2 = - 1

Generalizando para qualquer x, temos que sempre vai valer

sen ⁡ - x = - sen ⁡ ( x )

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

f x = c o s ( x )

Assim como no seno, o domínio será o conjunto dos números reais:

D f = R

E, como também oscila entre [ - 1,1 ] , terá imagem:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Ou, para um coeficiente multiplicando a função:

f x = a ⋅ cos ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Calcularemos o período da mesma forma que fazíamos no seno, uma vez que o período também é de 2 π .

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas deslocado e tendo valor y = 1 em x = 0 .

Montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os dados que temos para o cosseno, observa que é um pouquinho diferente

Marcando esses pontos, teremos

E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, teremos

Se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período da mesma forma como calculado para o seno!

Isso nos mostra que a função será simétrica em relação ao eixo y , o que implica que a função é par. Ou seja, se fizermos

cos ⁡ π =   - 1  

Assim como

cos ⁡ - π = cos ⁡ π =     - 1  

Generalizando, sempre poderemos escrever que cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( - x )

Beleza, agora vamos fazer os exercícios!!! :D

Função Seno

Função Cosseno

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o período das seguintes funções:

  1. f x = 4 cos ⁡ x
  2. f x = 3 cos ⁡ x 2
  3. f x = cos ⁡ x - π 3
  4. f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Passo 1

O período ( T ) de uma função é o intervalo que ela demora em se repetir. Olhando para o gráfico da função cosseno, podemos ver que ela se repete no intervalo de 0 até 2 π .

Então, o período da função cosseno é sempre 2 π .

Passo 2

  1. O período do cosseno é sempre 2 π , então toda vez que x variar em 2 π , teremos a função se repetindo. Isso é a mesma coisa que dizer que x é igual a T .

    Então, agora igualamos seu argumento a esse valor:

    x = T = 2 π

    Só isso mesmo!

    Passo 2

Novamente, vamos chamar x de T e igualar seu argumento a esse valor:

x 2 = T 2 = 2 π ⟹ T = 4 π

Passo 3

c)

Aqui a gente segue os mesmos passos: o período do cosseno é sempre 2 π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor.

Mas, agora, CUIDADO! Neste caso, o π / 3 indica somente que a função está deslocada π / 3 unidades para a direita.

Portanto, o período não é afetado e será:

x = T = 2 π

Passo 4

d)

Na soma de seno e cosseno, o período continua sendo 2 π e, portanto:

x = T = 2 π

Resposta

  1. T = 2 π
  2. T = 4 π
  3. T = 2 π
  4. T = 2 π

Exercício Resolvido #2

Simplifique a função abaixo:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x )

Passo 1

Relembrando, sabemos que a Equação Fundamental   da Trigonometria nos diz:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Isolando o s e n ² ( x ) , teremos:

s e n 2 x = 1 - c o s ² ( x )

Opa! Acabamos de ver uma relação para expressão do nosso denominador.

Passo 2

Passando a raiz dos dois lados, teremos:

s e n x = 1 - c o s ² ( x )

Agora sim, substituindo lá, teremos:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x ) = s e n x s e n ( x ) = 1

Porém a função só está definida para valores de x ≠ k π [para k = 0,1 , 2 , … ] pois nesses valores s e n x = 0 e teríamos uma indeterminação.

Resposta

f x = 1   , s e   x ≠ k π   [ p a r a   k = 0,1 , 2 , … ]  

Exercício Resolvido #3

Um ponto A que se movimenta sobre uma circunferência, tem sua posição p ( t ) considerada na vertical, no instante t descrita pela relação p t = 100 - 20 s e n ( t ) para t ≥ 0 . Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é:

a) 30

b) 40

c) 50

d) 80

e) 120

Passo 1

Bom, ele deu a equação da posição vertical. Vamos ver o que conseguimos fazer com isso?

Lembra que a função seno pode assumir + 1 como valor máximo e - 1 como valor mínimo? Para quem não lembra, olha o gráfico dela ai embaixo,

Vamos usar esse mesmo raciocínio para achar o nosso p m á x e p m í n . Lembra que nós temos essa função,

p t = 100 - 20 s e n ( t )

O valor máximo da posição vertical vai ser quando o seno for mínimo. Ou seja:

p m á x = 100 - 20 ( - 1 )

p m á x = 100 + 20 = 120

Do mesmo jeito, a posição vertical vai ser mínima quando o seno for máximo:

p m í n = 100 - 20 ( + 1 )

p m í n = 100 - 20 = 80

Passo 2

Beleza, mas o que podemos fazer com essa informação?

Esse ponto A que ele tá falando no enunciado tá se movimentando de acordo com uma função trigonométrica, assumindo valores sempre maiores que 80 e menores que 120. Mas sempre dentro desse intervalo.

E como a função é PERIÓDICA, ele fica repetindo esse movimento de vai-e-vem, descrevendo uma circunferência (como disse o enunciado).

Aí que vem o pulo do gato!

Vamos traçar uma linha horizontal onde temos o p m á x e p m i n e colocar uma circunferência entre essas linhas, pois a nossa função varia sempre dentre desse intervalo,

Repara que ao fazermos isso, a gente consegue identificar qual seria o diâmetro da circunferência. E o diâmetro vai ser dado pela diferença do ponto máximo para o ponto mínimo, ou seja:

d = 120 - 80 = 40

Ou seja, d = 40 . LETRA B

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

Quais são os valores de x , sendo 0 ≤ x ≤ 2 π , para os quais as funções f x = s e n   x e g x = cos ⁡ x se interceptam?

Passo 1

Vamos lá, as nossas duas funções vão se interceptar quando

f x = g x

Ou seja

s e n   x = cos ⁡ x

Vamos melhorar isso passando o cos ⁡ x   para o outro lado dividindo, assim ó

s e n   x cos ⁡ x = 1

Passo 2

Agora basta lembrarmos que s e n   x cos ⁡ x = t g   x . Então, teremos:

t g   x = 1

Basta pegarmos então os valores para os quais a t g   x   será igual a 1. Teremos esses valores para.

x = 45 °   o u   x = 225 °

Escrevendo isso em radianos, pra ficar padrão... teremos:

x = π 4 r a d     o u     x = 5 π 4 r a d

Resposta

x = π 4 r a d     o u     x = 5 π 4 r a d

Exercício Resolvido #5

A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Qual o valor de a e b indicados no eixo x?

Passo 1

Acho que você concorda comigo que essa função não está nada amigável e receptiva, está bem complicado de chegarmos a alguma conclusão sobre ela.

Vamos tentar simplificar?

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Fazendo esses produtos notáveis, temos

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - ( s e n ² x - 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x )

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - s e n 2 x + 2 . s e n x . c o s x - c o s ² x

f x = 2 . s e n x . c o s x + 2 . s e n x . c o s x

f x = 4 . s e n x . c o s x

Beeeem mais bonitinha, né? =D

Passo 2

Beleza, agora precisamos ver os pontos do primeiro quadrante que terão o y = 3 , como nos mostra o enunciado. Basta igualarmos a nossa função a 3 . Fica assim ó:

4 . s e n x . c o s x = 3

Dividindo os dois lados por 2, temos:

2 . s e n x . c o s x = 3 2

Tá, mas no que isso adianta a gente?

A expressão que está ao lado esquerdo é igual ao seno de um arco duplo, portanto, teremos:

s e n 2 x = 3 2

Agora, pensa comigo no seguinte, quais são os valores que tem como o seno o   3 2 ?

O seno de 60° e o de 120° graus, por estarem no 1º e 2º quadrantes, são positivos.

60 ° = π 3   e   120 ° = 2 π 3

Ou seja, teremos:

2 x =   π 3   o u   2 x = 2 π 3

Concluimos então que

x = π 6   o u   x = π 3